Статистические теории в термодинамике - Лоренц Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
относящейся к моментам, будет пропорциональна E и можно написать, обозначая через С постоянную, не представляющую для нас интереса,
3 п
IIdE = CvnE 2 ” dE.
Отсюда, согласно формуле Больцмана, отбрасывая постоянную, получаем:
S = n^l°g(vE2 (3)
Так как п число чрезвычайно большое, то предыдущую формулу можно переписать и так:
С R
S = п—
N
о
log(v?2),
а это и есть выражение для энтропии термодинамической.
1Cm. примечание I в конце книги.
Замечание о нечувствительности формулы Больцмана 27
6. Замечание о «нечувствительности» формулы Больцмана. Предыдущие рассуждения дают нам повод сделать замечание, к которому мы вернемся еще несколько раз в этих лекциях, а именно: формула Больцмана обладает свойством, кажущимся на первый взгляд несколько странным, которое может быть названо нечувствительностью по отношению к определению и вычислению вероятности. Свойство это весьма драгоценно. Оно проистекает из того обстоятельства, что в выражение вероятности всегда входят степени, заключающие п, а п всегда очень велико. Если бы, например, мы имели:
3 п
П = CvnE 2 ~ -n,
т. е. вышеприведенное выражение, умноженное на п, которое порядка многих биллионов или даже больше, то результат бы не изменился,
log Tl
ибо для таких значений п величиной ° следует пренебрегать, а это и есть тот член, который прибавляется к логарифмическому множителю формулы (3) в наших предположениях. То же самое будет иметь место, если умножить выражение для вероятности на такие множители, как п100 или ал/п\ они не имеют заметного влияния на значение энтропии, даваемое формулой Больцмана.
7. Применение формулы к произвольному телу. Мы проверили справедливость формулы Больцмана для случая идеального одноатомного газа. Рассмотрим теперь случай произвольного тела.
Для этого нам нужна гипотеза, которую в дальнейшем нам придется обосновать и, быть может, даже изменить. Вот в чем она состоит.
Предположим, что энергия системы заключается между E и E+dE. Изображающая систему точка находится в соответствующем бесконечно тонком слое фазовой протяженности. Гипотеза состоит в допущении, что в этом слое все положения изображающей точки одинаково вероятны или, точнее, что при разделении слоя на малые элементы равного объема мы имеем равную вероятность для точки находиться в любом из этих элементов.
При помощи этой гипотезы можно сравнивать вероятности различных состояний системы при условии допущения некоторой «терпимости» при определении состояния так, чтобы каждому состоянию соответствовал малый объем в фазовой протяженности. Очевидно, если рассматривать в слое фазовой протяженности части s, s', s", ... , со-
28
Лекция первая
ответствующие различным состояниям системы, то вероятности этих различных состояний будут пропорциональны s, s', s", ... Наивероятнейшее состояние соответствует наибольшей из этих составных частей фазовой протяженности.
Благодаря этой гипотезе нам удастся установить справедливость формулы Больцмана для тела произвольной природы; при нашем рассуждении мы воспользуемся также результатом, полученным в случае газа.
Положим, что рассматриваемое тело C2 находится в соприкосновении с газом Cl, причем соприкосновение определяется тем, что они могут обмениваться энергиями и что одно из них может производить на другое давление, так что их соответственные объемы могут меняться. Мы предположим, что общий объем задан и неизменен:
Vl + V2 = V.
Зададим также полную энергию, но не совершенно точно: пусть она заключается между E и E + dE. Какова вероятность, что объемы имеют определенные значения v± и V2, причем энергия газа Ci в то же время заключена между Ei и Ei + dEi? Можно заметить, что энергия другого тела будет теперь заключаться между E2 = E — Ei и E2 + dE, крайними значениями, совместными с заданным значением Ei. Отсюда нетрудно видеть, что область фазовой протяженности для системы Cl, C2 подразделяется на две области: одна из них относится к газу Ci и пропорциональна dEi, а другая — к телу C2 и пропорциональна dE. Согласно значению, данному нами символу TI, объемы этих областей можно представить так:
TTi{щ, Ei) dEi и II2(v2, E2) dE,
а это дает для объема совокупной области, измеряющей искомую вероятность
ПіП2 dEi dE.
Чтобы получить вероятнейшее состояние системы Cl, C2 нужно искать максимум этого выражения или, что то же, произведения ПіП2,1
1 Множитель dE — постоянный и заданный наперед — очевидно может быть отброшен. Остающееся выражение имеет вид: <p{Ei) dE\. В тех случаях, которые мы имеем в наших задачах, максимумы чрезвычайно остры; если изобразить функ-
Применение формулы к произвольному телу
29
когда мы варьируем г?і, V2, E2 при условии, что как v\ + V2, так и Ei + E2 остаются постоянными. Вместо того чтобы искать максимум этого произведения, можно искать максимум его логарифма, или же его логарифма, умноженного на постоянную к. Если положить
S1 = kloglli, S2 = klogII2,
то надо искать максимум
Si + S2,
причем, кроме того, имеем:
