Статистические теории в термодинамике - Лоренц Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
Все состояния системы с данной энергией E будут иметь изображающие эти состояния точки на некоторой «поверхности», а состояния, энергия которых заключается между E и E + dE, будут иметь эти точки лежащими в бесконечно тонком слое между поверхностями, соответствующими значениям энергии E и E + dE. Все состояния, энергия которых меньше Е, образуют (изображающими их точками) область, ограниченную поверхностью Е. Заметим между прочим, что область может быть выделена весьма разнообразными способами.
Существенно уметь определить величину (объем) области. Предположим, что мы рассматриваем все состояния системы, координаты которых заключаются между
qx и qx + dq-i, q2 и q2 + dq2, ••• ,Ps и ps + dps.
Условимся понимать под величиной, соответствующей элементарной области, произведение:
dqi • dq2 ... dqs • dpi • dp2 ... dps,
представляющее объем элементарного параллелепипеда 2s измерений. Определяем величину области, ограниченной произвольным образом,
24
Лекция первая
подразделяя ее так, как это принято в геометрии, на бесконечно малые параллелепипеды.
Теперь мы можем определить вероятность состояния, как функцию некоторых параметров, за которые мы берем сперва энергию и объем. Последний рассматриваем как точно заданный; обозначим его через V. Ho энергию не считаем вполне закрепленной; потребуем только, чтобы она заключалась между
E и E + dE.
Этим условиям, очевидно, соответствует некоторая вполне определенная фазовая напряженность, которую можно рассматривать как бесконечно тонкий слой, заключенный между поверхностями, соответствующими значениям E и E + dE энергии. Ясно, что толщина этого слоя будет пропорциональна dE и это будет справедливо и для объема области, им занимаемой. Если мы представим эту величину как
HdE,
то величина П по определению будет вероятностью (плотностью вероятности) состояния системы, соответствующего выбранным значениям E и V. Эту величину П можно вычислить, если известна природа системы и выбраны координаты. Ее мы и введем в формулу Больцман а, и нужно будет показать, что значение S', так полученное, обладает всеми свойствами энтропии.
5. Пример одноатомного идеального газа. Начнем со случая идеального одноатомного газа, объем молекул которого можно считать величиной исчезающей. Какова его энтропия? Вычислим ее сперва согласно классической термодинамике. Если р — давление газа, то количество теплоты, сообщаемое ему для увеличения его энергии на dE и его объема на dv, равно
dE + р dv.
Таким образом, имеем:
dE+pdv
Пусть и — число молекул, заключающихся в объеме v, R — газовая постоянная для грамм-молекулы и TV — постоянная Авогадро.
Пример одноатомного идеального газа
25
Имеем
Ho с другой стороны, так как вся энергия газа есть сумма кинетичес-
ких энергии поступательных движении различных его молекул — газ одноатомен — имеем:
Эту формулу нужно теперь получить, исходя из теоремы Больцма-н а.
Сперва сделаем следующее замечание. Вычисление области многомерного пространства может быть значительно упрощено в тех случаях, когда координаты делятся на две или несколько групп таких, что
пределы интегрирования для одной из этих групп независимы от значений, приписываемых координатам остальных групп. В этом случае величина области представляется как произведение некоторого числа интегралов, из которых каждый имеет отношение только к одной группе координат. Многомерное пространство распадается, так сказать, на некоторое число многомерных пространств низшего порядка.
Так, например, во многих случаях можно рассматривать отдельно протяженность конфигураций, т. е. координат q, и протяженность моментов, т. е. координат р. Для рассматриваемого нами газа первая протяженность вполне определяется геометрическим параметром v и рас-
падается еще на п протяженностей, из которых каждая относится к одной молекуле; в каждой нужно рассматривать область, равную г?, так как вследствие предположения, что размеры молекул ничтожны, каждая из них может занимать любое положение в объеме v. Таким образом, протяженность конфигураций равна Vn.
Определим теперь объем протяженности моментов, соответствующий значению энергии, заключенному между E и E + dE. Если га —
E = I пкТ = I п%Т.
2 2 N
Легко видеть, что ----— — полный дифференциал; выбирая долж-
ным образом постоянную интегрирования, получаем:
dE + р dv
з
s = njt IogivE2).
(2)
26
Лекция первая
масса молекулы, то
E — 2^(^1 +^2 + • • • +Pzn)i
так как
1 -2 Pi
2mq* = 2m’
Итак, рассматриваемая область заключена между гиперсферой радиуса \/2тЕ и концентрической гиперсферой радиуса ^/2m(E + dE). Чтобы вычислить эту величину, нужно вычислить объем гиперсферы радиуса
г = V2 тЕ
и дифференцировать выражение для этого объема по Е. Легко видеть1, что в пространстве Sn измерений объем гиперсферы пропорционален г3п. Таким образом, нужно дифференцировать выражение, содер-
3 п
2
жащее множитель (2тЕ) . Итак, величина фазовой протяженности,
3 п
2
