Статистические теории в термодинамике - Лоренц Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
qi - Я2 Q
Tl1-U2 1
л/п
1CpeflHHH квадратичная величин а получается извлечением корня квадратного из
2Постоянная Авогадро есть число молекул, содержащихся и грамм-молекуле.
Формула Больцмана
21
сантиметра давлению в 25 миллионных миллиметра ртути, то приведенное отношение будет равно всего одной миллионной.
3. Формула Больцмана. Больцман пошел значительно дальше того, что получается из этих общих рассуждений. Он дал формулу, устанавливающую численное соотношение между вероятностью данного состояния и его энтропией; формула эта следующая: если П представляет вероятность этого состояния, a S — его энтропию, то имеем
S = klogn. (1)
В этой формуле к — универсальная постоянная, определяющая среднюю кинетическую энергию молекулы при абсолютной темпера-
о
туре Т, энергию, равную ^kT.
Из уравнения состояния идеального газа и из формулы, связывающей давление со средней кинетической энергией молекулы, сразу получаем: D
к - —
где R — газовая постоянная для грамм-молекулы и TV — постоянная Авогадро.
Формула Больцмана будет играть в этих лекциях значительную роль. Ее открытие нужно рассматривать как весьма крупный успех. В первый раз ею дается на языке молекулярной теории точное толкование понятия, остававшегося несколько таинственным, — энтропии. Она нам позволяет вычислить энтропию, если мы умеем определить вероятность, и обратно, — можно получить из нее вероятность более или менее больших отклонений, а следовательно, среднее значение этих отклонений, основываясь на значении энтропии, соответствующему им; это значение можно часто получить из формул термодинамики.
Прежде чем идти далее в доказательстве и в обсуждении этой формулы, можно заметить, что присутствие в ней логарифма понять нетрудно. Действительно: вероятности данных состояний двух тел комбинируются умножением, а энтропии складываются.
Оставаясь в том же круге идей, нужно заметить, что нельзя говорить в абсолютном смысле о вероятности данного единственного состояния, как нельзя говорить об энтропии такого состояния. Вероятность определяется вплоть до множителя. Логарифм этого множителя пропорциональности, входящего в выражение вероятности, есть аддитивная постоянная энтропии.
22
Лекция первая
Что же касается постоянной к, то она зависит, очевидно, от принятых единиц. Выбираем ее так, чтобы значение энтропии было тождественно с тем, которое дается классической термодинамикой.
4. Определение вероятности. Хотя понятие вероятности есть понятие весьма изящное и плодотворное, но оно имеет тот недостаток, что может иной раз вести к рассуждениям, несколько туманным. Необходимо сделать его точным. Определение вероятности, которое мы дадим, позволит нам указать несколько простых применений формулы Больцмана и на них убедиться до некоторой степени в значении этой формулы.
Когда мы хотим представить себе все возможные состояния, принимаемые данной системой, мы можем поступать различным образом. Можно, например, представить себе большое число, ансамбль систем, которые суть, так сказать, копии системы, с которой мы имеем дело; они представляют в один и тот же момент времени все состояния этой системы, которые мы должны и желаем принимать во внимание. Эти состояния могут обладать наибольшей общностью, иметь, например, всевозможные значения энергии, как это имеет место в канонических собраниях Гиббса, или быть менее общими, как микрокано-нические собрания Гиббса, эквивалентные эргодическим собраниям Больцмана. В этих последних о всех системах предполагается, что они обладают одной и той же энергией, значение которой задано. Можно также обратить внимание на ансамбль, образованный последовательностью во времени состояний, принимаемых системой. Этим, среди других, занимался Эйнштейн. Тут мы будем пользоваться методом, связанным с микроканоническими собраниями, а в следующей лекции сообщим кое-какие соображения о других способах рассмотрения.
Для представления собрания состояний геометрия нескольких и даже очень многих измерений будет нам очень полезна. Мы рассматриваем тело как состоящее из огромного числа молекул. Чтобы определить состояние тела, нужно знать весьма большое число величин, например декартовых координат центров инерции молекул и составляющих скоростей этих точек, далее — относительные координаты и относительные скорости, определяющие движения молекул вокруг их центров инерции. Можно также, становясь на более общую точку зрения и воздерживаясь от каких-либо гипотез насчет строения молекул, ввести обобщенные координаты Лагранжа, определяющие положение всех
Определение вероятности
23
частей, составляющих систему; мы их обозначим через
Ql 5 0.2 5 * * * 5 (Zs •
Соответствующие скорости будут
QrI 5 0.2 5 * * * 5 (Zs*
Ho, как известно, эти скорости рассматривать неудобно. Лучше рассматривать количества движения, называемые также моментами, соответствующие выбранным координатам; мы их обозначим так:
Pl 5 Р2 5 * * * 5 Ps *
Данное состояние системы, очевидно, может быть изображено символически точкой в пространстве 2s измерений, в котором эта точка имеет «координатами» значение величин q и р. Так как координаты непрерывно меняются со временем, то точка эта описывает в этом пространстве некоторую траекторию. Пространство 2s измерений (д, р) мы будет называть фазовой протяженностью Е.
