Статистические теории в термодинамике - Лоренц Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
42
Лекция вторая
допускается некоторый простор. Пусть
Ti, T2 , 7"з , . . .
— продолжительность последовательных состояний, понимая под этим, что г*, например, есть полная длительность, в продолжение которой, быть может, не один, а несколько раз состояние Si осуществлялось. По определению вероятностью СОСТОЯНИЯ Si назовем отношение
Ti
T ’
где г — полная длительность, в продолжение которой рассматривается система.
Сумма вероятностей различных состояний равна единице, как это и должно быть. Наивероятнейшее состояние есть то, которое осуществляется чаще всего или в продолжении наиболее длинного промежутка времени. Видим, таким образом, что определение очень естественно.
Действительно, если вероятность — максимум для одного из состояний, то этот максимум будет настолько острым или вероятность этого состояния будет настолько больше всех других, что это состояние будет существовать почти во все время т. Оно-то и проявится в опыте. Можно полагать относительно остальных, что они или существуют так недолго каждый раз, когда они осуществляются, что их не успевают наблюдать, или что всегда ожидают чересчур короткое время, чтобы наблюдать их осуществление.
19. Замечание об эволюции системы. Второе определение вероятности позволяет нам сделать замечание о значении утверждения: эволюция системы имеет тенденцию происходить в определенном направлении — к состоянию наиболее вероятному.
Для простоты предположим, что система может принимать только два состояния Si и S2 весьма различной вероятности, например, состояние Si значительно более вероятно, чем другое. Изобразим время равномерным движением (например, слева направо) точки по прямой, взятой за ось времен. Обозначим через Si длину отрезков, пробегаемых точкой тогда, когда имеет место состояние Si, и через S2 длину отрезков, соответствующих состоянию S2. Отдельные отрезки могут иметь весьма разнообразные длины, но сумма всех Si значительно превосходит таковую для S2. Ясно, что при отметке наудачу точки на прямой значительно больше шансов попасть на отрезок Si, чем на отрезок S2.
Сравнение двух определений вероятности
43
Ho можно ли сказать, что система, предоставленная самой себе, преимущественно будет переходить из состояния S2 — менее вероятного — в состояние Si — более вероятное? На первый взгляд кажется, что нет, так как при рассмотрении системы за данный промежуток времени, изменения будут происходить так же часто в одном направлении, как и в другом. Ho можно взглянуть на вопрос и несколько иначе. Вместо того, чтобы рассматривать одну систему S и следить за ее эволюцией, рассмотрим большое число тождественных систем, т. е. могущих существовать в состояниях Si и S2 в продолжении тех же промежутков времени, что и S. Изобразим эти системы равноотстоящими точками на прямой, о которой сейчас говорили; все эти точки перемещаются слева направо с одинаковой скоростью. В каждый данный момент существует меньшее число систем в состоянии S2, чем в состоянии Si, но столько же состояний Si превращаются в S2, как состояний S2 в Si; пусть 2v — число их, преобразующихся за данное время; это число точек на нашей прямой, проходящих через границы двух отрезков. Число V может быть весьма малой долей от общего числа систем, находившихся первоначально в состоянии Si, и наоборот, значительной долей от числа тех, которые находились в состоянии S2. Становясь на эту относительную точку зрения, можно сказать, что больше шансов превращения для системы, произвольно выбранной во второй группе (S2), чем для системы, принадлежащей к первой группе (Si), и что отсюда следует тенденция для систем переходить в состояние наиболее вероятное. Ho следует заметить, что слово тенденция имеет здесь вполне определенное значение.
20. Сравнение двух определений вероятности. В предыдущем мы рассмотрели два различных способа измерения вероятности данного состояния системы; ее можно считать пропорциональной объему области в фазовой протяженности, соответствующей этому состоянию или же времени, в продолжение которого оно существует. Чтобы сравнить друг с другом эти два определения, нужно сперва подчеркнуть нечто существенное для первого определения.
Рассмотрим в данный момент все изображающие точки системы, находящиеся в некотором элементе dE фазовой протяженности, и будем следить за этими точками и продолжение некоторого времени их движения. В конце этого промежутка времени они будут находиться в новом элементе dT,'. Так как обобщенные координаты удовлетворяют общим уравнениям механики и форме Гамильтона, то новое
44
Лекция вторая
значение элемента объема равно старому:
dE' = dE.
Это теорема Лиувилля; она показывает, что в первое определение вероятности не входит время. Она приводит также к следующему важному заключению: если — в некоторый момент времени — точки, изображающие системы собрания, распределены равномерно в слое dE фазовой протяженности, то плотность останется постоянной навсегда. Это равномерное распределение нужно себе представлять, когда говорят о собраниях микроканонических или эргодических.
