Статистические теории в термодинамике - Лоренц Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
He будем останавливаться на этих специальных приложениях и ограничимся кратким рассмотрением важного вопроса, а именно, вопроса об эквивалентности двух методов, основные положения которых нам теперь известны.
24. Каноническое собрание можно разложить на бесконечное число собраний микроканонических. Это сводится к разложению фазовой протяженности E на слои dE вокруг гиперповерхностей:
E = const.
Области фазовой протяженности этих микроканонических собраний охватывают друг друга, как бесконечное число коробок, вставленных одна в другую. Пусть V dE — величина элементарного слоя;
V-E
здесь V — функция от Е. Плотность е 0 постоянна во всем слое, ибо E в нем постоянно. Число изображающих точек, лежащих в слое, равно, таким образом,
V-E
Ne e VdE.
50
Лекция третья
Решающим обстоятельством для сравнения двух родов собраний, которые мы имеем в виду, является то, что множитель при dE в преды-
дущем выражении имеет ярко выраженный максимум для определенного значения Е. Можно доказать это точно в частных случаях и, по-ви-димому, допустимо принять это и для случая общего. Характер максимума величины
составляет чрезвычайно важное свойство канонических собраний. Как следствие получается, что почти все изображающие точки собраны в слое AE весьма малой толщины. Этот слой определяет микрокано-ническое собрание, которым можно заменить во всех приложениях каноническое собрание Гиббса.
Приняв это, легко показать, что функция Ф, определенная по методу Г и б б с а, и функция S, вычисленная по формуле Больцмана, связаны друг с другом уравнением (13). Пусть E0 — значение Е, для которого произведение
максимум. Для этого же значения E логарифм произведения также максимум; таким образом, имеем:
где значок при производных обозначает, что дело идет об их значениях при E = E0. Так как максимум очень острый, то с большой точностью для всех значений Е, для которых произведение (14) имеет заметное значение, имеем:
V-E
© XT'
е V
V-E
(14)
(15)
где
Є — E — Eq^
Канонический и микроканонический ансамбли
51
таким образом,
Е_ Eo 1 2
0V = е~ 0 ~2 ? V0. (16)
С другой стороны, в уравнении (12) можно заменить dT, на V dE или V de, что нам дает
е 0 = / е eVde
или же
_Ф _Ео 1
© © T7 / ,
е = е Ко І е ає.
Здесь можно интегрировать от —оо до +оо, так как множитель при de имеет заметное значение только для малых значений є.
Итак, имеем:
© © X т / 2тг
е =е V0]/-
ИЛИ
ф = E0 - 0(logV0 + log Y^)•
Применим теперь формулу Больцмана к микроканоническо-му собранию, соответствующему значению 7? энергии. Величина TI, введенная нами в первой лекции, есть не что иное, как Vo-Итак,
S = k log Vq •
Как мы сейчас покажем на примере, член log у ^ такого рода,
что формула Больцмана к нему нечувствительна. Можно, таким образом, пренебречь этим членом по сравнению с IogVo и написать
Ф = Eо — 0 log Fo
или, принимая во внимание связь между 0 и Т:
Ф = E0- TS,
что мы и хотели показать.
52
Лекция третья
25. Применим наши рассуждения к примеру одноатомного газа, содержащего п молекул. Мы уже вычислили для этого газа величину TI, которую теперь мы обозначаем через V; имеем:
3 п
V = CE2 ~ ,
где С — постоянная, не зависящая от E (см. п. 5). Условие для максимума произведения
V-E
© J г
е V
или его логарифма дает нам:
J_ + / ЗП _ Л J_ _ Q
0 V 2 Je0
или
0 =
2Е0
Sn — 2
или, наконец, так как п весьма велико
п 0
0 = о—•
6 п
Ho мы знаем, что
Eo = ^nkT.
Отсюда следует связь
0 = кТ
которую мы выставили уже выше. Проверим теперь, что членом
можно пренебречь. Имеем:
Флуктуации в статистических явлениях
53
так что можем написать:
Н=Й’ log\/f = log\/f“5log?l + logi;o;
HO IogVo содержит член о
^nlogE0.
Таким образом убеждаемся для этого случая, что отношение
logV0 : log
весьма велико, когда п велико, и что, следовательно, мы вправе пренебречь членом
26. Флуктуации в статистических явлениях. Мы займемся теперь рассмотрением беспорядочных флуктуаций, о которых мы говорили уже несколько раз. Их теория основывается на вычислении
1SaMeTHM еще, что для газа можно написать:
д3 (Ф - E \ _ Sn
JE3 V © °g / E=E0 E^ ’
OE3
следовательно, первый член, которым мы пренебрегли в разложении (15), становится равным п з
2Ё§? '
Формула (16) показывает, что для значения є, равного ——, где s — небольшое
_е_ yh
число, е 0 V имеет незначительную величину. Для этого значения є и для всех
'11 з „ 1^2
меньших значении -------— є чрезвычайно мало но сравнению с членом — — пє , нами
2Е0
сохраненным. Действительно, имеем:
Sn
следовательно, для є =
Vh
h =
S
2 E0
2 ’
1/.,2 _ I 2 _П_ 3_ 3
2 _ 2s ’ 2Е$ _ V 27п'
54
Лекция третья
вероятности данного отклонения от наивероятнейшего состояния системы. Изложим ее сперва на элементарном примере.
Займемся газом, состоящим из п тождественных молекул, заключенных в объеме V. Разделим мысленно объем на две равных или неравных части Vi И V2 и ищем вероятность, ЧТО Пі молекул находятся В объеме Vi, Tl2 — в объеме V2. Очевидно, имеем:
