Статистические теории в термодинамике - Лоренц Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
H1 (V1 + dv і) dE1
36 Лекция вторая
(так как энергия газа заключена между E1 и E1+(IE1) и объем области фазовой протяженности для всех вторых случаев равен
II1(V1) (IE1.
В фазовой протяженности Ei нам следует, таким образом, рассматривать объем области
BTT
IIAv1 + (Iv1) (IE1 — II1(V1) (IE1 = 1 dv1dE1.
OV і
С другой стороны, в каждом из рассматриваемых случаев тело C2 может занимать определенный объем, величина которого заключена между v — (v\ -\-dvі) и V — V1 = v2; можем принять его равным V2. Таким образом, будем иметь в фазовой протяженности Е2 область, величина которой равна
II2(V2) dE,
так что объем всей области фазовой протяженности для системы (Cl, C2) равен
BTT
Я2 (Iv1 (IE1 dE.
Bv 1
Чтобы получить наиболее вероятное состояние, следует искать максимум произведения
Bn1
Bv1
или его логарифма. Если положить
Я,
с' _ R іЛ„
1 N ё Ov1 ’
S2 = Л Iogtf2, то для максимума имеем соотношения:
ds[ ds2 (>s[ ds:
Ov1 Ov2 ’ OE1 OE2'
Остается показать, что эти соотношения сводятся к тем, которые мы вывели в п. 7 первой лекции. Для этого достаточно показать, что ве-
D
личина Si практически не отличается от энтропии S1 = IogTJi газа.
Сравнение системы в двух состояниях с неравной энергией
37
Действительно.
3 п
II1 = Cv1IE12 ~
и
дПі
dvi
З n
= Cnvn-1E12
-I
отсюда
или
о
si = nJj lOglv1E1 ) + log
Tl
Vl
Вторым членом следует пренебречь (для больших значении п) по сравнению с первым, пропорциональным п. Величина Sr1 может считаться энтропией газа с тем же правом, что и величина Si.
14. Сравнение одной и той же системы в двух состояниях с неравной энергией. Вот еще одно следствие из нечувствительности формулы Больцмана по отношению к точному определению вероятности. Предположим, что дело идет о сравнении энтропий одной и той же системы в двух состояниях, в которых она обладает различными энергиями E и Ef. Для этого следует сравнить объемы двух областей протяженности моментов, задаваемые двумя слоями dE и dE'. Если положить dE = dEf, то наше определение сводит вычисление разности энтропий S и Sf к сравнению объемов двух слоев. Часто можно заменить это сравнением площадей ft и Qf поверхностей E и Е\ составляющих многообразия низшего порядка; отношение площадей будет равно отношению вероятностей. Действительно, пусть є и г] — минимальное и максимальное значения толщины слоя dE, є' и г]г — соответственные величины для слоя dEf. Отношение объемов слоев будет всегда заключаться между
и
U UjJl ии?,
Если толщины є, 77, е\ Tjr не разнятся друг от друга чрезвычайно
є rI
сильно, то множители — и -у, входящие в выражение для энтропии под
TJ є
знаком логарифма, не будут иметь заметного влияния.
38
Лекция вторая
15. Замечания о гипотезе равномерной вероятности. Случай идеального газа в покое. Обсудим более подробно основную гипотезу, сделанную нами в начале предыдущей лекции. Она состоит в допущении, что в бесконечно тонком слое dE все положения изображающей систему точки одинаково вероятны, т. е. если разделить слой на малые элементы равных объемов, то вероятность для точки находиться в одном из них одинакова для всех.
Оказывается, как это нетрудно видеть, что невозможно оправдать эту гипотезу во всей ее общности. Легко найти такие элементарные случаи, где она несправедлива, т. е. в которых невозможно, чтобы изображающая систему точка попадала в определенные части слоя dE. Рассмотрим, например, газ, заключенный в неподвижную оболочку; мы можем тогда рассматривать центр инерции массы газа как находящийся в покое. Алгебраическая сумма проекций количеств движения всех молекул на каждую из осей координат должна равняться нулю; это дает уравнения:
п п п
^ ^ Pix = 0? ^ j Piy = 0? ^ ^ Piz = 0* (8)
г=1 г=1 г=1
Каждое из них изображает плоскость, проходящую через начало координат в протяженности моментов Sn измерений. Таким образом, эта протяженность сводится к многообразию Sn-S измерений. Физически это соответствует тому, что энергия может заключаться между E и Е-\- dE, причем центр инерции газовой массы, взятой в целом, может иметь еще весьма различное движение. Если принудить центр инерции совершать данное движение, в частности, находиться в покое, то некоторые области слоя dE станут недоступными для нашей изображающей точки.
Естественно изменить в этом случае наше определение величины 77, входящей в формулу Больцмана, и понимать под ПdE не объем dE в фазовой протяженности Е, но в приведенной фазовой протяженности, которую назовем E'. Покажем, ограничиваясь рассмотрением протяженности моментов, ибо ничего не изменилось в протяженности конфигураций, что и в случае идеального одноатомного газа, находящегося в покое, это изменение нисколько не повлияет на результат.
Действительно, поверхность E в нашем случае в протяженности моментов Sn измерений есть гиперсфера с центром в начале координат
Идеальный газ в движении
39
и с радиусом д/2 тЕ. Она пересекается плоскостью, проходящей через начало по гиперсфере того же радиуса с числом измерений Sn — 1, подобно тому, как обычный шар в пересечении с диаметральной плоскостью дает круг того же радиуса. В случае, когда уравнения (8) удовлетворены одновременно, область протяженности моментов есть слой dE вокруг гиперсферы радиуса у/2тЕ в пространстве Sn-S измерений. Повторяя те же выкладки, что и в п. 5 предыдущей лекции, получаем для энтропии:
