Статистические теории в термодинамике - Лоренц Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
S = (n — 1)-^ Iog^vE2 71-1
В силу того, что п велико, это выражение может заменить полученное раньше, ибо отличается от него только тем, что содержит п—1 вместо п. Правда, коэффициент С, входящий в выражение вероятности, различен в этих двух случаях, но нам нет надобности заниматься этими коэффициентами, благодаря которым в выражение энтропии входит только постоянный член, независящий от объема и энергии.
16. Случай идеального газа в движении. Итак, когда мы принимаем явным образом во внимание, что газ находится в покое, то в результате, уже полученном для его энтропии, ничего не меняется. Если газ имеет данное поступательное движение, то можно ожидать, что получится прежний результат, но с тем отличием, что в выражение энтропии войдет не полная энергия газа, но только его внутренняя энергия. Применяя предыдущие замечания, легко в этом убедиться.
Предположим, что центр инерции газа имеет некоторую скорость, так что газ обладает количеством движения с составляющими а, 6, с, и что полная энергия заключается между E и E + dE. Область протяженности моментов есть слой dE вокруг гиперсферы, получающийся от пересечения в пространстве Sn измерений гиперсферы радиуса у/2 тЕ с плоскостью
Plx + Р2х + • • • + Pnx — aI
затем от пересечения этой гиперсферы Sn — 1 измерения с плоскостью
Ply + Р2у + . . . + Pny —
и, наконец, от пересечения гиперсферы Sn —2 измерений, сейчас нами полученной, с плоскостью
Plz + P2z + . . . + Pnz — С.
40
Лекция вторая
В результате получается снова гиперсфера Sn-S измерений, радиус которой нам нужно определить. Умножая ее поверхность на толщину, соответствующую dE, мы получим объем области протяженности моментов. Таким образом, нам сперва следует определить радиус гиперсферы, получающейся от пересечения гиперсферы в пространст-
п
ве Sn измерений радиуса л/2тЕ с плоскостью ^ Pix = а. По аналогии
г=1
с элементарным построением в пространстве трех измерений, квадрат этого радиуса получится, если вычесть из квадрата радиуса данной гиперсферы квадрат расстояния от ее центра до секущей плоскости. Это расстояние равно
если обобщить очевидным образом формулу для расстояния начала координат от плоскости, заданной ее уравнением. Таким образом, радиус гиперсферы, получающейся от пересечения данной гиперсферы с плос-
п
костью Pix = а равен
Если пересечь затем эту гиперсферу Sn — 1 измерения плоскостью
п
E PiV =
І—Ї
то радиус получающейся гиперсферы будет:
yj2mE-
Наконец, радиус гиперсферы в приведенной протяженности моментов Sn-S измерений, который нам действительно нужен, дается формулой
^2тЕ- °2+^2+с2;
легко видеть1, что мы снова получим формулу (3) для энтропии газа, если просто заменим в ней E величиной
тгг _ г а2 + Ь2 + с2
2 тп
1Cm. примечание II в конце книги.
Продолжение замечаний о равномерной вероятности
41
Здесь последний член, очевидно, представляет кинетическую энергию поступательного движения, соответствующую количеству движения с составляющими а, 6, с; E', очевидно, внутренняя энергия. Как и следовало ожидать, энтропия зависит только от этой последней.
17. Продолжение замечаний о равномерной вероятности.
На ряде примеров мы видели, каким образом добавочные условия делают невозможным целый ряд положений изображающей точки в фазовой протяженности E и как можно в этих случаях поступать, вводя пригодную приведенную протяженность. При таких предосторожностях не нужно бояться возражений против гипотезы, нами рассматриваемой. Можно считать осуществляющимися все состояния слоя dE приведенной протяженности E'. Правда, некоторые точки этого слоя могут изображать столь особенные состояния (например, такое состояние, когда одна молекула захватила себе всю энергию), что мы склонны рассматривать их скорее как невозможные, чем как маловероятные.
Ho нет надобности много заниматься таким различением. Дело обстоит тут так же, как с крайними возрастами таблицы смертностей. Положим, что при помощи такой таблицы, т. е. по непосредственным данным опыта, можно изобразить движение населения посредством выражения вида /(ж), т. е. что, например, на миллион жителей число тех, возраст которых — с точностью до одного года — есть х лет, равен численному значению этого выражения. Приняв эту формулу, получим, быть может, значение, отличное от нуля для числа жителей в возрасте 150 лет или даже 200 лет. Нужно ли заключить, что формула никуда не годится? Конечно, нет. Достаточно, чтобы во всех практических вопросах, к которым формула применяется, значения функции для больших значений х не имели бы заметного влияния.
18. Второе определение вероятности. Мы сможем лучше судить о гипотезе равномерной вероятности, если скажем несколько слов о новом определении вероятности, которое главным образом развито Эйнштейном.
С этой новой точки зрения система рассматривается в продолжении весьма длинного времени и обращается внимание на последовательность ее состояний. Изобразим их так:
S\, S2, S3, ...
Каждое из них не считается определенным вполне точно, а для каждого
