Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
граничных условий, из изложенного вытекают следующие соотношения
симметрии для предельной плотности состояний
р (?, t/о, ciot flj).
р (?, Uot с0, flj) - р ( Et ?/0, fli) - p ( EUq, U0, q0).
Поэтому достаточно ограничиться нахождением числа состояний oft(*(?/0/2,
В) для случая ?У0 > 0 и Е > U0/2 (заштрихованная область на рис. 4), так
как спектр в остальной области параметров (U0, Е) легко получить с
помощью соотношений (8.7).
Процедура решения уравнения (8.6) вполне стандартна, хотя и несколько
громоздка, поэтому мы приведем лишь окончательные формулы для числа
состояний ^(Я) или потока J (Е) в различных областях значений энергии и
амплитуды потенциала (см. рис. 4). При этом удобно определить следующие
функции:
Р.(я) = Р.(0), 2 ?/>,(a)da=l.
s = О, 1 J
о
реализации s(x), энергии Е, амплитуде потенциала U0 и граничным условиям
/1 )0, ? = 0" соответствует решение (/3, Д) той же системы, отвечающее
либо реализации s (х), энергии -Е и амплитуде -U0 и тем же граничным
условиям, либо реализации 1 - -s(x), энергии -? + ?/в, амплитуде ио и
граничным условиям /а|0,1 -0. Поскольку в пределе L -*¦ оо спектр не
зависит от вида
Рис. 4.
(8.7)
ctg a-fctg a,
Д -J- U gS E
A - U 0(r) ~b E
112
I. Uq <{2Д, E < Д. При этих условиях в спектре системы существует щель,
df (?/0/2, Е) = 0, так как амплитуда потенциала меньше ширины затравочной
щели.
II. | Е-{/0[<Д, Е > Д. В этом случае имеем
aQa% Р ехр (R (а') - R (a)) da da,' .
("o + Gi) J {Щ J Ф0(а) Фх (а')
_l е-R (я) Г exPlR R fe)) fa dar (8 8)
^ J Ф0 (а) Фх (ос) а а ' '
I
где R (ct) - Q0(a) + Тх (а), а области интегрирования и 52 от-
мечены горизонтальной и вертикальной штриховкой на рис. 5.
Здесь интерес представляет прежде всего поведение числа состояний в
случае Uc < 2Д, Е-*Д + 0. Нетрудно убедиться, что основной вклад в J~1{E)
дает интеграл по квадрату (о*, л/2), а' ? (я/2, я-ах), а соответствующая
асимптотика с/\Р(?/0/2, Е) имеет вид
*&¦
ехр
(8.9)
Д + 0.
Здесь q"1 - 2а±У U0 (2Д-U0), р- (дс0А)"х(2Д - f/0) ?/0, а обозначения
специальных функций соответствуют книге [71].
Таким образом, видим, что при U0 < 2Д в спектре системы имеется щель,
границы которой являются истинными флуктуа-ционными границами с
характерной для таких границ экспоненциальной асимптотикой <№{U0/2, Е). В
предельном случае U0-+2A-0 щель захлопывается, но характер асимптотики
числа состояний в окрестности точки Е - А остается прежним:
? -^ Д + 0.
Отметим, что этот результат можно получить как из точной формулы (8.8)
при ?/" -2Д, так и путем предельного перехода U0-+2A в (8.9).
ПЗ
Ill. А<^<?<?/0-Д. При этих условиях приходим к
формуле
а0аг (е* <л> - 1)
{a0-\-ai)J(E) ~
(8.10)
где теперь /^(а^фДа)-}-^!^). Отсюда видно, что в точке Е - 1/0/2,
выделенной свойствами симметрии спектра, никакой особенности в плотности
состояний не возникает. Имеет смысл, однако, рассмотреть off (?/0/2, Е) в
окрестности этой точки, когда щель только что захлопнулась, т. е. при U0-
2Д А, Е UJ2+0. При этом основной вклад связан с интегралом по квадрату
а' ? (я/2, я), а?(0, я/2). Вводя обозначение 6= Л/ ^-?^<^1, из (8.10)
получаем
где c = min(l/a0A, l/^A), а Kt-функция Макдональда. Заметим, что эта
формула при 6 -> 0 верна вне экспоненциально малой окрестности точки Е
UJ2, а именно при б3 ^ (2Е - ?/")/2Д ^>63ехр(-ся/26). С другой стороны, в
силу соотношений симметрии плотность состояний слева от Е - UJ2
оказывается иной:
где с' - max (1 /д0А, l/a^A). В зависимости от соотношения между с и с'
плотность состояний в окрестности точки U0!2 либо практически не меняется
(если 2с > с'), либо испытывает резкий скачок (в случае 2с < с') с
производной р'А ~ 6"6^> 1. Однако и в том, и в другом случае при 6-^0
плотность состояний слева и справа от UJ2 экспоненциально мала.
В предельном случае а0 - ->0, U0-> оо, 1/6UoO> = D = const исходный
потенциал (8.5) превращается в гауссовский белый шум. Производя в формуле
(8.10) указанный предельный переход одновременно со сдвигом энергии на
величину среднего потенциала Е -> UJ2 + Е, получаем
сп a0Q1A exp (-ся/26)
^ 8б3 йо + ai Ki (1/А /ад) '
с'л a0QiA exp (-с'л/26) 8б3"о + а1/с|(1/Д '
2D [1- ехр(- я?/?>)] а'
(8.11)
^ da' J da exp (R (a) - R (a'))
б а'-2л
где 2DR (a) = Ea + A sin a.
114
В предельных случаях Е-> () или Е-> оо отсюда получаем
"АТ (О,
оо.
IV. ?>?/" + А. В этом случае J (Е) определяется формулой (8.10), в
которой теперь R (а) = Q0 (а) H-Qj (а). Здесь интересно проследить за
асимптотическим поведением Jf (U0/2, Е) при Е -+ оо. Соответствующая
формула имеет вид
где U ~ Q.-JJ0/(й0 "Ь .
Ряд приведенных выше асимптотических формул оказывается справедливым не
только для рассматриваемой модели, а в гораздо более широком классе
случаев. Ниже мы обсудим другие, более общие способы получения таких
асимптотик.
а) Рассмотрим сначала асимптотику числа состояний при больших
энергиях. Эту асимптотику можно получить, как и в п. 7.2, исходя из
формулы (6.3), в которой а (Е, L) определяется из уравнения (8.4) с
