Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
и<у'9=vihi [' "Iarctg (/fractg 6). '
- 1 in ctga+y^Ai + gVCAi-f)
кр /д|_?2 ctjra-l^Aj + Ej/fAj-fi) '
то а(лг')<я Уд:'6(0, x~\-y), а а(* + ^<акр.
Отсюда, рассуждая так же, как и ранее, приходим к формулам (8.15), (8.16)
для числа состояний, в правой части которых теперь следует заменить А на
А0.
в) При выполнении условий
<А><^0, \Е - <А>|<^о, arc< 1,
где параметры о, гс определяются так же, как и в предыдущем пункте, но по
отношению к корреляционной функции ВА (дг) (8.27), число состояний с>Jf
(Е) в окрестности точки <Д> шириной | Е - <Д> j <<с а для любой
флуктуирующей щели А (л:) будет иметь вид, соответствующий гауссовскому
белому шуму и определяемый формулой (8.24), в которой
?0 = ?> = 72Яо, В0= § BA(x)dx.
г) Для предельно плавного потенциала (а0, ах -> оо, а0}ах =* const) из
(8.10) и (8.19) получаем
лр (е) = ДоУ^^-Ао+Д! Уе*-а! ^
Глава III
состояния, ЛОКАЛИЗАЦИЯ и ПРОВОДИМОСТЬ В ОДНОМЕРНЫХ СИСТЕМАХ
В этой главе мы продолжим изучение одномерных неупорядоченных систем,
рассматривая более сложные, чем плотность состояний, их характеристики.
Одним из основных следствий отсутствия трансляционной инвариантности в
неупорядоченных системах является возникновение в них макроскопически
большого числа локализованных состояний. Это обстоятельство, составляющее
самое существенное отличие неупорядоченных систем от упорядоченных,
приводит к радикальному изменению их кинетических свойств. Подобные
эффекты в наибольшей степени проявляются в одномерном случае, где
включение даже слабого случайного потенциала обусловливает локализацию
всех состояний системы и, как следствие, равенство нулю коэффициента
диффузии и статической проводимости (речь идет, разумеется, об
одночастичном приближении). В этом смысле одномерные системы являются
принципиально неупорядоченными, и поэтому существующие в физике твердого
тела методы оказываются, как правило, мало пригодными для их изучения.
Однако, как мы убедились в предыдущей главе, в одномерном случае имеется
весьма эффективный метод исследования, существенным образом использующий
специфику одномерной топологии. Опыт главы II показывает, что
использование этого метода существенным образом определяется возможностью
составления неслучайных уравнений типа Фоккера - Планка для плотностей
вероятностей тех или иных величин, что, в свою очередь, зависит от
свойства случайного потенциала, которое мы будем называть конечной
марковостью. Оно означает, что статистические характеристики случайного
потенциала справа (или слева) от каждой точки полностью определяются
заданием конечного числа параметров, и, грубо говоря, отвечает конечному
радиусу взаимодействия примесей, формирующих случайный потенциал. Как
было отмечено в п. 6.4 (см. также §10), выполнение этого свойства и его
форма зависят от области рассматриваемых энергий. Наиболее простой случай
- потенциал типа некоррелированного в различных точках белого шума -
возникает, как мы видели в п. 6.3, в интервале энергий, примыкающем к
среднему значению потенциала. Именно в этой области энергий удается
получить наиболее законченные результаты.
122
Опишем кратко содержание этой главы. Волновые функций одномерного
уравнения Шредингера со случайным потенциалом и его дискретных аналогов
обладают весьма специфическим свойством. Оказывается, что огибающая
волновой функции, имеющей фиксированное значение логарифмической
производной в некоторой точке, для всех реализаций случайного потенциала
экспоненциально растет при удалении от этой точки. Мы приводим
доказательство этого факта, а также ряд количественных результатов,
относящихся к показателю экспоненциального роста (§ 10). Это некоторые
точные результаты, а также асимптотические формулы в окрестности
устойчивой истинной границы спектра и при достаточно высоких энергиях
(квазиклассическая область, где для получения соответствующих формул
развит метод, являющийся вариантом метода усреднения в нелинейной
механике).
В § 9 объясняется, как свойство экспоненциального роста приводит к
локализации состояний в одномерных системах больших, но конечных
размеров, заключающейся в том, что состояния таких систем имеют
огибающую, которая экспоненциально убывает по мере удаления от середины к
краям интервала, который занимает система. Это явление и представляет
собой простейшую форму локализации всех состояний одномерных
неупорядоченных систем. Однако установление этого свойства в бесконечных
системах, где одной из его форм является дискретность всего спектра
одномерных систем, требует дополнительных аргументов. Соответствующие
построения, носящие несколько более математический, чем в большей части
книги, характер, содержатся в § 12. В § 11 вычисляется спектральная
плотность а (к,Е) и средняя функция Грина в квазиклассической области.
Хотя эти величины являются одночастичными, используемый при их вычислении
метод, представляющий собой дальнейшее развитие метода усреднения по
быстрой переменной, сформулированного в п. 10.2, оказывается основным и
