Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лифшиц И.М. -> "Введение в теорию неупорядоченных систем " -> 52

Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.

Лифшиц И.М., Гредескул С.А., Пастур Л.А. Введение в теорию неупорядоченных систем — М.: Наука, 1982. — 360 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriyuneuporyadochennihsistem1982.djvu
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 145 >> Следующая

сшивку решений ф"! (х) и ф2 (х). Оказывается, что установленные факты
позволяют только утверждать, что экспоненциальный рост функций ф3 имеет
место не при всех, а лишь при "почти всех" Е. Говоря "почти все", мы
подразумеваем, что исключительное множество
127
значений энергии может быть покрыто совокупностью интервалов сколь угодно
малой общей длины. Точками этого множества являются, прежде всего,
поверхностные уровни, о которых речь шла выше. Но, как показывает анализ,
нельзя, основываясь только на эргодической теореме, доказать, что
указанное множество состоит только из таких уровней. Поэтому нельзя,
вообще говоря, исключить возможность того, что некоторые из получаемых
при сшивке энергий не попадут в это 'множество, и тогда о поведении
соответствующих состояний ничего нельзя будет сказать. Однако эта
возможность, по-видимому, все же не очень вероятна, в частности, потому,
что множества, отвечающие % и ф2, определяются поведением потенциала на
интервалах (л:0, L) и (-L, х0) соответственно и потому, как правило, в
значительной степени независимы*). Поэтому большинство состояний,
построенных путем сшивки функций и ф2" будут в силу их экспоненциального
возрастания при удалении от концов интервала (-L, L) локализованы в его
средней части. Это подтверждается также многочисленными численными
расчетами, демонстрирующими описанный характер состояний неупорядоченных
одномерных систем, состоящих уже из 50 - 100 атомов.
Наконец, необходимо отметить, что такой вид состояний конечных систем
достаточно больших размеров не означает еще, вообще говоря, локализацию и
даже существование связанных состояний в макроскопически больших, т. е.
бесконечных, одномерных системах**). Дело в том, что область, где
состояния локализованы, будучи малой по сравнению со всем интервалом (-L,
L), может с ростом L увеличиваться так, что в результате получится
функция, убывающая на бесконечности недостаточно быстро и потому не
соответствующая связанному состоянию. Это может означать, что в
макроскопически больших системах существует некоторый промежуточный
масштаб длины, который, будучи много больше межатомных расстояний, в то
же время мал в макроскопическом смысле, и экспоненциальное поведение
состояний имеет место только в пределах таких объемов промежуточных
размеров, или, более точно, на их периферии.
Однако, несмотря на приведенные соображения, описанная структура
состояний одномерных систем представляется весьма примечательной. Поэтому
желательно установить наличие такой структуры в возможно более широком
классе случаев. В силу вышеизложенного это сводится к доказательству
положительности показателя экспоненциального роста у (?), к чему мы и
переходим.
*) В то же время существуют примеры случайных потенциалов, для которых
эти множества оказываются настолько зависимыми, что сшивка невозможна ни
при какой энергии, и поэтому спектр, отвечающий таким потенциалам, не
содержит ни одного дискретного уровня.
**)iКритерием существования связанных состояний в бесконечной системе
является, согласно результатам § 4, положительность величины (4.3) (см.
так же конец § 13),
128
§ 10. Показатель экспоненциального роста
10.1. Положительность показателя роста для системы независимых
рассеивателей. Будем считать, что статистические характеристики
потенциала инвариантны относительно преобразования х -х. Эта
инвариантность является выражением свойства изотропии в среднем, которую,
как и однородность в среднем, естественно предполагать в неупорядоченной
системе. Так как у_ (Е, а; [?/]) - V+(?, п-а; [It/]), где I-оператор
инверсии, переводящий U (х) в U (-х), и так как согласно нашему
предположению всевозможные средние инвариантны относительно замены х на -
х, то ясно, что величины у± (Е) = max у± (Е; а; [Л/])
а
будут равны друг другу. Поэтому достаточно рассматривать {Е). Далее, у+
(Е) является детерминированной величиной и потому
Т+{?) = Ит (-^Ш. (10.1)
X -У сю л
Но в силу тождества
х
In г2 (*) = 2 J + In (0) + In (1 + ^
о
и того, что плотность вероятностей величины а (х) - arcctg (ф7ф) обычно
стабилизируется (см. например гл. II), можно написать
X
у+ (?) = lim if<z(х')>dxf =*<2(х)>ст, (10.2)
х~^°° о
где 2 (х) = г|/ (х)/яр (х) = ctg а (х). Таким образом, у (Е) есть среднее
значение логарифмической производной волновой функции по стационарному
распределению.
Мы докажем сначала положительность этой величины для модели, в которой
потенциал представляет собой последовательность неперекрывающихся
барьеров фиксированной формы, расстояния между которыми статистически
независимы. Это означает, что
U (*) - 2й (x-Xj), (10.3)
/
где и (х)-четная (в силу изотропии) функция, равная нулю при | х | > r0,
a xJ+1~Xf - yj'^2r0, причем расстояния у}- являются независимыми
случайными величинами с одной и той же плотностью вероятностей f{y).
Кроме того, для простоты дальнейшего изложения мы будем предполагать, что
и (х) ^ 0. Если ц (х) = ?06 (х), то (10.3) переходит в потенциал
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 145 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed