Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
со
-j* Bv (л;) sin 2kx dx
+ (7.24)
где Bv (я) - <п (0) v (х)У - корреляционная функция случайного потенциала
v(x)^U(x) - U. Полагая, например, Bv(x) равной корреляционной функции
потенциала, рассмотренного в п. 6.4,
получим из (7.24) формулу (6.38).
В случае сингулярных потенциалов, у которых коррелятор Bv(x) есть 6-
функция, второй член в (7.24) обращается в нуль. Это свидетельствует о
том, что для таких потенциалов (гауссовского * белого щумат потенциала
(6.66) и т, п.) следующий
109
после kin член в разложении off (&) при больших k имеет порядок более
высокий, чем k~x. Действительно, как видно из (6.20), в случае белого
шума этот член равен 5?>2/32л;&5. Аналогичный факт можно извлечь и из
(6.38), учитывая, однако, что в этой формуле энергия отсчитывается не от
среднего значения потенциала, как в (7.24), а от его минимального
значения.
§ 8. Двухзонная модель
До сих пор, исследуя плотность состояний, мы использовали приближение
эффективной массы, когда речь шла об электронном спектре, или
эквивалентные ему представления о структуре невозмущенного
(упорядоченного) кристалла для других типов возбуждений. В то же время
существуют ситуации, когда учет периодичности исходной упорядоченной
системы, а значит, и зонной структуры затравочного спектра представляется
важным. В частности, такой вопрос возникает при попытке объяснить
некоторые наблюдаемые особенности физических величин (например
низкотемпературное поведение магнитной восприимчивости [44]) в
квазиодномерных соединениях [68, 52]. Поскольку полный учет зонной
структуры представляет большие трудности, естественно обратиться к
наиболее простому случаю, когда имеются две широкие разрешенные зоны с
узкой щелью между ними. При этом (см. [70]) спектр и состояния
квазичастиц в окрестности щели в присутствии случайного потенциала
описываются системой двух уравнений первого порядка типа уравнения
Дирака.
В настоящем параграфе, следуя [69], мы рассмотрим задачу о спектре
одномерной системы в двухзонном приближении. В п. 8.1 вычислена плотность
состояний для модели, в которой потенциал представляет собой
последовательность прямоугольных барьеров фиксированной высоты с
экспоненциальным распределением случайных длин барьеров и расстояний
между ними. В п. 8.2 решена аналогичная задача для несколько иной модели,
в которой флуктуирующим параметром является ширина щели. Такая модель в
случае, когда флуктуация щели представляет собой гауссовский белый шум,
рассматривалась в работе [68].
8.1. Случайный примесный потенциал. Согласно [70], система уравнений,
определяющая спектр электрона, в рассматриваемом приближении имеет вид
- А + (у+Д_?)^ = °,
а, (8-1)
-<-^-+((/-Д-Я)% = 0.
Здесь U - примесный потенциал, Е - энергия, отсчитываемая от центра щели,
А-полуширина щели, измеренные в единицах
Р - - i J ы*о (*) "i (*) dx, а ис{9Уц 0 (х)-блоковские амплитуды ц 110
верхней и нижней зонах соответственно. Преобразование подобия приводит
систему (8.1) к виду
(и-if д \
dx (8.2)
\ А и+1Гх)
Вводя вместо комплексного вектора <р два вещественных f и g по формулам
[68]
fi - Re (ф! + Фа), f2 ^ Im (ф!-ф2),
==: Im (фз. "I- Фг)> g2 -Re^i-ф2),
получаем следующую систему уравнений:
(-? о)1г+(Т Л), = ?'' <8-3>
для функции f и точно такую же систему для функции g. Это
означает, что плотность состояний исходной задачи (8.1) равна
удвоенной плотности состояний для (8.3), которая и будет вычислена ниже.
Эта система уравнений будет рассматриваться
на отрезке (О, L) с нулевыми граничными условиями для компоненты ft
и с последующим предельным переходом L-* оо.
Введем в пространстве (/х, /2) полярные координаты
+ ctg а = - /2//а,
причем для однозначного определения фазы а(х) необходимо потребовать,
чтобы она была непрерывной функцией х. Из (8.3) находим, что а(х)
удовлетворяет уравнению
-^=ФЕ(1/(х), a) = E-U + Acos2a (8.4)
и начальному условию а(0) - 0, а собственные значения задачи определяются
с помощью соотношений
а (?, L) = пл, п - целое.
Из уравнения (8.4) после дифференцирования его по ? и интегрирования
получающегося линейного уравнения следует, что да (л;, Е)/дЕ > 0 при
каждом х > 0. Поэтому общие формулы (6.3), (6,4), (6.7) и (6.8) для числа
состояний, выведенные в п.6.1, справедливы и в этом случае. Будем
рассматривать потенциал U (л:) вида
U(x)^U0s(x)t (8.5)
где случайный процесс s (х) равен нулю или единице на интервалах и
xlt которые имеют плотность вероятностей
а7хехр(-XjOy1). В этом случае стационарное распределение Р (U, а) =- Р
(U0s, а) = Ps (а) удовлетворяет уравнению
111
Фоккера - Планка (см. (6.33))
(Ф, (а) Р5 (а))-аагРа (а) Н-огЛ/Ч-, (а) = 0, s = 0,1,
(8.6)
где Ф^(а) = ?-?/0s +А cos 2а, и, кроме того, условиям я-пери-одичности и
нормировки:
Прежде чем приступить к решению уравнения (8.6), полезно учесть некоторые
свойства симметрии спектра системы (8.3) с потенциалом (8.5). Нетрудно
убедиться, что каждому решению
(/i, /2) системы (8.3), отвечающему
