Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
фу, заданной только в дискретных точках:
со Я
Р(Ф)^^ехр (-JL\^dy'p (<р')б(ф-Г(ф' + ky)), о о
дифференциальный вариант которого в точности совпадает с уравнением
(6.81), определяющим стационарную плотность вероятностей фазы ф(х),
заданной на всей оси. Поэтому динамическую информацию, необходимую для
нахождения решения (6.81), можно извлечь из уравнения (6.79).
При k -*¦ 0, как видно из (6.79), фаза фу после приведения к интервалу
(0, я) в подавляющем большинстве случаев оказывается малой. Если
подставить в (6.80) у;- = /, то увидим, что преобразование фазы,
определяемое получающейся таким образом правой частью (6.80), имеет две
стационарные точки на интервале (0, я). Одна из них, находящаяся в
окрестности нуля, ф!^ arcctg(U/E)1/*, в силу приведенных соображений
устойчива. Вторая близка к я (ф2я^я-ф^ и неустойчива. Поэтому функция Р
(г) будет иметь острый максимум вблизи г = гх =г (?/)0*. В естественных
переменных s~z/zlt Р (s)ds = Р (z)dz уравнение (6.81) приобретает вид
((s' + ) Р (s))' = с'!' (Р (s)-Р (s-С-'/•)). (6.82)
96
Поскольку с 1, в окрестности стационарных точек правую часть этого
уравнения можно разложить по параметру с-1/* с точностью до членов
второго порядка включительно. Продолжая полученные таким образом решения
на всю ось с помощью приема, аналогичного методу ВКБ (решение (6.82)
пишется в виде P{s) = e* и S(s) раскладывается по степеням с-1/"), с
помощью (6.9) окончательно получаем [551:
vw г
Д_________с1/*
kl 0
j (vW-^-)d*
?+0, (6.83)
(?) - exp
L -l J
где v(x) определяется из уравнения
*2v(x) = 1 -e~v(xK
Формула (6.83) показывает, в частности, что у дна зоны р(Я)^ ~ехр(-n/kl).
Аналогичный результат можно получить и в том случае, когда f (у) имеет
вид ~ехр (- у/l) лишь при больших у.
Рассмотрим теперь поведение числа состояний в другой области спектра. При
большой концентрации рассеивателей потенциал представляет собой "густой
лес" 6-функций. Так как положения рассеивателей взаимно независимы, то
при соответствующем выборе начала отсчета и нормировки такой потенциал
должен быть близок к гауссовскому белому шуму (см. п. 6.2). Для того
чтобы продемонстрировать это, воспользуемся развитым в п. 6.3 подходом.
Корреляционная функция флуктуаций потенциала (6.66), как следует из
формулы (2.5), в которой п- /_1, а м (л;) = &08 (х), имеет вид
Bv{x)=*kll~'b{x).
Поэтому характерные параметры случайного потенциала определяются
формулами
2D =s ck о, rc~0, U = ck\,
где, как и выше, с = (ЗД-1. Поскольку единственным параметром
"размерности длины" в окрестности среднего потенциала является D-1/\
перейдем в уравнении (6.72) к новым переменным ? = D-,/3z, заменив
одновременно энергию Е на U +D2/se:
-|.[<?* + е)/> (?)] =с (1)'Л [р (c)-(А)'V(r)-
-p(?~(t)v')]- (6>84)
В случае потенциала (6.66) все высшие корреляторы флуктуаций потенциала
также составлены из произведений 8-функций,-однако вид их отличается от
того, который должен быть у гауссовской 8-коррелированной случайной
функции. Ясно, что для получения гауссовского распределения нужно
обеспечить достаточно большую густоту центров, т. е. высокую их
концентрацию
И. М. Лифшиц и др.
97
(с>1), что и предполагается в настоящем пункте. Как видно из уравнения
(6.84), его правую часть можно разложить по параметру до второго
порядка включительно, после чего оно
приобретает вид
-|-[K2 + e)P(?)] + -5!||9- = 0,
точно такой, как для потенциала белый шум с D- 1 (см.(6.14)).
6.8. Модель структурного беспорядка (случай притяжения). Примесная зона.
Рассмотрим теперь систему с потенциалом (6.66), в котором, как и в
предыдущем пункте, Р (k) = б (k - &0), но k0 < О и, следовательно, U =
kj,"1 < 0. Пусть концентрация высока: с - (| k0 J 1. Тогда в окрестности
среднего потенциала | е 1<^1,
е = (Е - U)fU, замена г =* (-преобразует уравнение (6.72) (Е <0, k0<0) к
виду
[(?Ы-г)/> (?)] = <:
-'МЭТ]-
после чего можно использовать те же соображения, что и в предыдущем
пункте. Определенный интерес здесь представляет также область больших
отрицательных энергий, соответствующих е-> + оо. Оказывается, что в этой
ситуации нужно рассуждать примерно так же, как и в области Е-^0 при k0 >
0. Этого и следовало ожидать, поскольку область Е-"- - оо при кй< 0, так
же как область Е-* + 0 при&0>0, является окрестностью истинной
флуктуационной границы спектра.
Написав, подобно тому как это делалось в случае kQ > 0 для фу (см.
(6.79)), рекуррентное соотношение для zy при =
zj+i zj/q + thqt ko П2^_р q I-\-(zjlq) th ql q ' 4
видим, что при q ->- оо преобразование, определяемое правой частью этого
соотношения, имеет две стационарные точки z - q, z - -q, причем первая из
них устойчива, а вторая нет. Поэтому следует ожидать, что Р (?) будет
иметь острый максимум в окрестности ? = с1/'", а значит, применимы с
небольшими изменениями рассуждения, использованные в предыдущем пункте.
Опуская детали вычислений, приведем только асимптотическую формулу для
off(E) [60] (ср. с (16.16)):
