Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
помощью теории возмущений по параметру A/(E - U). Подставляя в (6.3)
решение а(Е, L), найденное с точностью до членов четвертого порядка по
указанному малому параметру включительно, получаем
Обратим внимание на то, что формула (8.13) оказывается более "точной",
чем асимптотика (8.12), полученная из точного решения.
б) Далее, асимптотику (8.9) <АР (U0/2, Е) вблизи истинной флук-
туационной границы с логарифмической точностью можно также получить
методом, развитым в п. 7.1. Основным моментом этого метода являлось
доказательство некоторого утверждения о характерном поведении фазы в
случае, когда энергия предельно близка к истинной флуктуационной границе.
В рассматриваемой модели (речь идет о системе (8.3) с потенциалом (8.5),
но уже с произвольными плотностями вероятностей длин барьеров Д(х) и
расстояний между ними /0 (г/)) указанное утверждение легко доказывается и
формулируется следующим образом.
(8.12)
где
BW-<U(*)l/(0)>-<l/>- = ^jlexp [-Щ^±Й)] ¦
115
Пусть ?/0< 2А и б- д-^у/4 Ь Тогда, если а (0) < акр= я/2 -б,
У < У*'=7Р=^ [l -Iarcfg (/Iffctg 6).
(8.14)
*>*кр = In
ctg б-
A + E-U0
E+U*
то а(х)<я для всех x' из интервала (0, х-\-у) и а (х + у) < акР.
Отсюда, используя (6.3) и рассуждая так же, как и в п. 7.1, найдем, что
при U0 < 2Д, ?-*A-pO
In сГ (UJ2, Е) ~ In J /о (#) ф,
я/Уе*- д*
(8.15)
где /0 (г/) - плотность вероятностей расстояний между барьерами. В случае
степенного убывания вероятности получаем более точный результат:
G0
[ fo(y)dy, "о~ ^yfo(y) dy. (8.16)
tc/Ve*- Д* 0
Заметим, что эти результаты верны и при U0 - 2A, так как утверждение
(8.14) остается справедливым и в этом случае.
в) Как было показано в п. 6.3, плотность состояний уравнения
Шредингера со случайным потенциалом в некоторой окрестности его среднего
значения для достаточно широкого класса потенциалов имеет такой же вид,
как и для гауссовского белого шума. Аналогичная ситуация возникает и в
настоящем случае, причем для широкого класса случайных потенциалов U (а-
). Рассмотрим уравнение для величины z - fjfx^= - ctg а:
!Ё = Д(г*-1) + [?_[/(*)](г' + 1),
и сделаем в нем замену переменных x=t(K, U (х)=* U -\-v (х):
г = -^(г2-1)
(8.17)
В этих переменных корреляционная функция потенциала v (f) имеет вид (см.
п. 6.3)
<v (t) v (0)> = Bv (t/к) (Bv (а) =г <v (х) v (0)"
и в случае игс<^1, где гс - характерное расстояние, на котором меняется
Bv(x), является 6-образной функцией. Поэтому при выполнении указанного
неравенства потенциал, фигурирующий
116
в уравнении (8.17), весьма похож на гауссовский белый шум с парным
коррелятором вида
к~2 <и (t) v (0)> " 2D6 (f),
D = (2x)_1 J Bv (х) dx.
Подберем теперь параметр х так, чтобы выполнялось условие D~ 1. Тогда х ~
В0 = J В (лг) dx ~ о2гс, где а-характерная амплитуда потенциала v (t). В
случае гауссовского белого шума, фигурирующего в уравнении (8.17) с
самого начала, амплитуда потенциала бесконечно велика по сравнению с
коэффициентами А/х и (Е - t/)/x. Поэтому при выполнении условий
Д<а, \E-U\^a
соотношение между различными слагаемыми в правой части (8.17) будет таким
же, как и для гауссовского белого шума. Поскольку поведение фазы а, а
следовательно, и величины z однозначно определяет спектр системы (8.3),
то изложенное означает, что для любого потенциала, удовлетворяющего
условиям <хгс^1, А<^сг, число состояний оlf(t/, Е) в окрестности точки U
шириной j Е - U j а будет иметь вид, соответствующий гауссовскому белому
шуму и определяемый формулой (8.11), полученной как предельный случай в
рассмотренной точно решаемой модели.
г) Среди различных предельных случаев в этой модели интерес
представляет ситуация, когда средние длины барьеров и промежутков между
ними неограниченно возрастают: а0 оо, ах -> оо,
с0/й1 = const, что отвечает весьма плавно изменяющемуся потенциалу. В
этом случае число состояний асимптотически принимает вид
$ (?) = У?2-А2+ "1 V(E-Uo)*-А2
Jt(G0 + "l) '
который нетрудно объяснить. Действительно, при а0, а* -+¦ оо одновременно
потенциал на очень длинных участках остается практически постоянным и
поэтому приводит просто к случайному сдвигу энергии, как и в случае
уравнения Шредингера (см. формулу (6.40)).
8.2. Модель флуктуирующей щели. В этом пункте будет рассмотрена
несколько иная модель, определяемая системой уравнений
Ф=?(р. (8.18)
Эта система формально может быть получена из (8.2), если U = 0, а
полуширина щели А является случайной функцией координаты. Такая модель
была предложена в [68] и исследована для случая, когда А (х) - <А> + т)
(х), где г| (х) представляет собой гауссовский
И7
белый шум, причем <ti (x)ri (0)> = 2D6(x). Одними из основных результатов
работы [68] были отсутствие щели в спектре при сколь угодно малой
интенсивности D и существование особенности плотности состояний в центре
щели при достаточно больших флуктуациях последней (D > <Л". Ниже
рассмотрен другой вариант этой модели, в котором А (х) - Д0 + т) (х), а
т] (х) = (Aj - Д0) s(x), где s(x)-случайный процесс, использованный в
