Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
0. Нетрудно убедиться, что: а) на регулярных участках Ф/+1= ф/ + /с, фу =
ф(/ + 0), что и заменяет в данном случае линейность роста фазы на пустых
интервалах; б) нулям волновой функции, так же как и ранее, соответствуют
значения фазы ф(лг), кратные л; в) при переходе через рассеиватель kf+1
изменение фазы описывается уравнением (ср. с (6.79))
/4 * f/c) sin &
ctg Ф/+1 = ctg (фу + К) Н-J- ; Aj (к) = {kj - k0) > 0. (7.7)
*) Изложение остальной части § 7 следует [64, 65].
103
Для введенной таким образом фазы ср(л:) по-прежнему имеет место свойство
инвариантности, т. е. при к-^ + 0 из условий
где А (к) = min Aj (/с), следует, что 0 < ср (х) < л для таких л:,
kj =^= k q
что /<лг< / + д+1 и 0 < Ф/+я+1 <фКр- Как и выше, это означает, что между
двумя последовательными нулями волновой функции содержится по крайней
мере один регулярный участок длины, большей чем /гкр, и что на регулярном
участке длины, большей чем л/к+1, непременно есть нуль волновой функции.
Поэтому при + 0 имеем
где р(п) - вероятность того, что регулярный участок имеет длину, не
меньшую п, а [х] - целая часть числа х. Например, если все kj независимы,
то р(п)=*(\ - с)сп, где с -концентрация рассеивателей минимальной
интенсивности, и поэтому
Формула (7.8) верна также вблизи нижних границ всех высших зон, при этом
под оЛГ (Е) следует понимать число состояний, отсчитываемое от
рассматриваемой нижней границы. Величина к в (7.8) есть квазиимпульс в
идеальной системе с kj - k0 в случае нечетных зон и разность между л и
квазиимпульсом для зон с четными номерами. Поэтому на рассматриваемых
границах всегда к->- + 0, а связь между к и Е определяется
соответствующей ветвью закона дисперсии в идеальной системе. Аналогичный
результат получается и в случае k}- ^ k0 < 0 вблизи верхних границ всех
зон.
7.2. Флуктуационная граница в решеточной модели. Для
спектра колебаний неупорядоченной цепочки, описываемого уравнением
истинная флуктуационная граница соответствует максимальному
значению частоты (r)гаах - 2 (/(max/Afmin)2 (предполагаем, что М}-и Кj -
независимые случайные величины). Состояния вблизи этой границы
реализуются на^флуктуационных скоплениях самых легких атомов либо атомов
с максимальными значениями упругих связей Kj *), что и будет показано в
настоящем параграфе.
*) В этом пункте мы ограничимся рассмотрением ситуаций, когда случайными
^являются либо только массы атомов, либо только упругие связи. Однако
те*из4содержащихся ниже утверждений, которые справедливы в общем случае,
сформулированы без учета такого ограничения.
0 "С ф/ "С Фкр arcctg 2/с ' ^ ^кр к ^ А (к) '
(7.8)
In off (Я) ~-2-In с.
(7.9)
104
Определим фазу фу соотношением
Ctg фу -
(7.11)
Дифференцируя по со2 вытекающее из (7.10), (7.11) рекуррентное
соотношение
Отсюда следует, что ^ф.-Моа > 0 для всех / > 1, и поэтому (см. п. 6.1)
где а-постоянная цепочки.
Рассмотрим сначала случай изотопически неупорядоченной цепочки, когда все
силовые константы одинаковы: Лу=з/(. Тогда уравнение (7.10) удобно
записать в виде
Поскольку роль пустых интервалов играют теперь участки, застроенные
самыми легкими атомами, фазу удобно ввести таким образом, чтобы она
линейно менялась на таких участках. Матрица Т° перехода через узел,
занятый самым легким атомом, имеет вид
Так как det Т° = 1, распространению волн в идеальной цепочке с Му = М°
отвечают частоты, удовлетворяющие условию Sp Т° ^ 2. При этом собственные
значения матрицы Т° равны -ехр^йс), 2 cos к =- SpT°, 0</с<л, а
соответствующие собственные векторы t* и t8 = tj удобно нормировать так,
чтобы ^>=8- i, ^2> = = R + iJt где
получаем
сГфу + 1 My_. 2 /Cy_iSin2(py+1 ?%
dco2 /С/ Sin b+i+ltf соэафу diо2'
оГ " col) =dim (<PN +1 М - qpN + 1 М) ,
(7.12)
где
Т° =
M° = min Му.
Преобразование подобия с помощью матрицы
приводит Т° к диагональному виду:
f-e-iK 0 \
S-T*S-( I _,").
Определим новую фазу х соотношением
с - 1 ^in ФЛ л / "х\
\cosv) \е* )'
где ф-стандартная фаза (7.11):
¦ (ГНДсопД.). о>0.
а Л-число. Из этого определения следует, что
- ctgф = ^?ctgx + ^ (7-13)
(фаза, определяемая подобным образом, в случае Kj - К использовалась в
[66] для других целей). Используя эту формулу и уравнение (7.12),
нетрудно показать, что фазы % до и после перехода через
узел, занятый самым легким атомом (Ту = Т°), свя-
заны соотношением
ctgX/+i = ctg(xy+/c), (7.14)
как раз и соответствующим линейному росту фазы % на "пустых" интервалах.
Дифференцируя (7.13), находим, что
dto2
.
г II* Л - - Sin К -2 [Х//я]=0 cfco2
[ф//п]=0<0-
Поэтому для граничного условия вида [фк+i/Jt] = 0, соответствующего
закрепленному правому концу цепочки, число состояний в интервале (сof,
col), отнесенное к единице длины, можно вычислить, пользуясь фазой %\
'Xn+i^D-Xn+i W
off (со?, co?)=dim (Na)"1 N-*-"
Матрица перехода Ту через произвольный узел имеет вид
Ту = ехр (- Ду Qai) Т°, (7.15)
где
^ с Mj-M*
(Q21)// - С/2^/1" aJ " ^ 0.
Из (7.12) и (7.15) следует, что на языке фазы % рекуррентное соотношение
