Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
согласно (6.13) меняется в соответствии с уравнением
=* - (2* + Е) = Ф (г), (6.67)
а при переходе через рассеиватель испытывает скачок:
г (Xj + 0) = z (xj - 0) + k0 == Т (z (Xj-0)). (6.68)
Уравнение баланса для вероятности попадания z(x-\-dx) в интервал (z, z-\-
dz) имеет вид
P(x-}-dx, z) dz - exp (-dx/l)P(x, z-Ф dx)d(z-<Ddx) +
+ (1 -exp (- dxll)) P (x, Г"1 (г)) dT~1 (z),
где P (x, z) - плотность вероятностей значений z(x) в точке х, a T~1(z) -
z-fc0. Вытекающее отсюда уравнение Фоккера - Планка имеет вид
1г + 1^г1 + г~' [р~р(х' Т'-1(г))'*Г^(г)]= о. (6.69)
Записывая последнее слагаемое в форме
2
1~1Ъ I р(*'
Г-' (г)
убеждаемся, что (6.69) есть уравнение непрерывности с плотностью потока
2
JE(x, z) = - (z2 + E)P(x, 2)-И-1 I P(x, Qd?.
T~l (2)
Переходя в этом соотношении к пределу х->- оо и учитывая
(6.12) и (6.10), видим, что
2
J(E)=(* + E)P(z)-l~I $ Р&)%. (6.70)
Г-1 (2)
Поскольку стационарный поток не зависит от г, в правой части этого
выражения можно, например, устремить г к ±оо, в результате чего получаем
/(?)- Иш z2P(z), (6.71)
Z->± ОО
93
где стационарная плотность вероятностей Р(г) есть неотрицательное,
нормированное на единицу решение вытекающего из (6.69) уравнения
I ± [(г* + Е)Р (г)] = Р (г)-Р (г(6.72)
Для отталкивающих примесей (ft0 > 0) спектр системы занимает интервал (0,
оо) оси энергий, а точка Erv = 0 является его истинной флуктуационной
границей. Найдем сначала, следуя [53], асимптотику J (Е) = JiT (?) при Е-
/0. Для этого перепишем уравнение (6.72) в виде (дР/дх = 0)
г
Р(г) = Ш(Е)е"^и' ^ Я, (6.73)
где и (г) = ехр arctg ~^ , ft2 = Е. Положим
Р {г) = ОТ (Е) и' (z) Q (г) ехр (n/2ft/). (6.74)
Тогда соотношения (6.73), (6.74) и условие нормировки Р (г) примут вид
<2(г) = 1-| "'-|§*о) 0(?~*.К.
- со
оо
1 = /"V (?) ехр j и' (г) Q (г) dz, (6.75)
- 00
Q(-оо)=1, Q(+oo) = exp(-я/ft/).
В случае ft -> 0 основной вклад в <№ (Е) вносит область z 1, а интеграл
по отрицательной полуоси в рассматриваемом пределе обращается в нуль.
Поэтому
Ж (Е) = С ехр (- л/ft/), (6.76)
где предэкспоненциальный множитель С зависит только от концентрации с -
(ft0/)-1 и выражается через решение определенного интегрального
уравнения.
Общий случай потенциала (6.66), в котором случайными являются не только
расстояния между рассеивателями, но и их амплитуды kj > 0, рассмотрен в
[54], где показано, что
(Е) - я j f (0) |2 ехр
V 1
¦2 ] (F(y)-E)^dy\. о J
Здесь
- 00
F(x) = -?J(1-"-**)/>(*) Л,
о
94
Р (ft) - плотность вероятностей случайных амплитуд ft,- О, х (Е) - корень
уравнения Ft(x)~E, a f (x) есть решение уравнения
r-F{x)f = О,
такое, что
f (*) - F-ч* (х) exp ( - J F-1/. (у) dy
\ о
Случаи Р (ft) - б (ft-ft0), Р (ft) = ft0 exp (- ftft^1) уже встречались
выше. Нетрудно убедиться, что J
х(Е)
2 J (F(*) -?)¦/.<& =*je?-v.(1+о(1)) о
и потому
-1п(/оГ(?)Н-!у(1+о(1)), ?- 0.
Для равных друг другу величин kj, т. е. в случае Р (ft) - 6 (ft - ft0), в
[54] получена более точная формула:
<Jf (?) - <Я'я|(Я0){*,) (' + °(1)). (6.77)
Если концентрация рассеивателей велика (c = (ft0/)_1^> 1), асимптотику
сЛГ (?) в области E<^.U = ft0/_1 можно получить иным способом, в основе
которого лежат весьма общие и широко используемые в дальнейшем
соображения. Именно, речь идет о том, что детальное изучение динамики
системы (например, уравнений, описывающих эволюцию фазы) для характерных
участков спектра позволяет предсказывать структуру решений
соответствующих вероятностных уравнений (типа Фоккера - Планка или Смолу-
ховского) и, исходя из этих предсказаний, развить приближенный метод их
получения. Эта, центральная, по нашему мнению, идея настоящего параграфа
впервые была высказана и использована Шмидтом [49]. Она же лежит в основе
работы [55], изложению результатов которой посвящена остальная часть
этого пункта.
В рассматриваемом случае удобной переменной для описания динамики задачи
является фаза ср (6.31). На пустых участках она линейно растет:
Ф (Х/+1 - 0) = Ф (X/ + 0) + kyp
а скачок фазы при переходе через рассеиватель описывается соотношением
Ф (Xj + 0) = Т (ф (Xj - 0)) = arcctg (ctg ф (xj - 0) + ft0/ft). (6.78)
Если, как это делалось в п. 6.6, ввести фазу Фу=*ф(л?у4*0), заданную
только в дискретных точках, то ее эволюция будет описываться уравнением
с^?ф/+1 - (6.79)
95
или
Ф/+1 = т (ф/+ЩУ (6-80)
Уравнение Фоккера - Планка для стационарной плотности вероятностей фазы
Р(ф) имеет вид
ЫР' (ф) + Р (ф)-Р (Г- (ф)) - О, (6.81)
где согласно (6.79)
Г"1 (ф) = arcctg (ctg ф-kjk),
а для стационарного потока получается выражение
<р
/(?) = ЙЯ(ф) + /-1 J Р(ф')?*ф'*
Г-* (ф)
Полагая ф = 0, приходим к формуле
J{E) = kP{ 0),
которая уже получалась в п. 6.1 (см. формулу (6.9); отсутствие в ней
множителя k связано с использованием фазы а), правда, для потенциала, не
содержащего б-функционных особенностей.
Приравнивая вероятности левой и правой частей (6.80), получаем
интегральное уравнение для стационарной плотности вероятностей Р(ф) фазы
