Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
о1'Г(?)~'К-Е ехр -2с1/2^~г^ /гjn-^-
(6.85)
Пусть теперь концентрация рассеивателей мала. В этом случае особый
интерес представляет окрестность связанного состояния 2q- \кй\ в
изолированной 6-функционной яме, так как именно
98
здесь при малых с формируется примесная зона (см. подробнее гл. VI).
Содержание остальной части этого пункта представляет собой перенесение
метода и результатов вычисления gJ\P(?) работы [49], где это было сделано
для примесной зоны в спектре колебаний изотопически неупорядоченной
цепочки, на случай модели (6.66), в которой kj-k0< 0. Основой нашего
анализа, как и выше, будет уравнение (6.72), точнее, его аналог для Е <
0, ?0 < 0. Мы уже видели, что каждую область спектра необходимо описывать
в "своих" переменных, выбор которых определяется уравнениями движения.
Естественным требованием, которому должна удовлетворять
соответствующая переменная при Е < 0 и с -> 0,
является, по возможности, ее более простая эволюция на "пустых", т. е. не
содержащих рассеивателей, интервалах. Это условие выполняется для
величины
t(x)=:(z - q)/(z + q), (6.86)
так как на пустых интервалах t'= - 2qt, откуда
t{x) - t (0) exp (-2qx). (6.87)
При переходе через рассеиватель t (х) меняется в соответствии с
соотношением
t(xf + 0) = Т(Цху - 0)),
где
Г(0 = [(2 + в)*--1](е + 0-\ (6.88)
а е обозначает новый энергетический параметр:
е = 2^ | Лг0 |"г- 1,
причем в окрестности локального уровня Ея - - &о/4, |е|<^1.
Полагая в выражении (6.70) для стационарного потока z - q, получаем
Т~ Ч?) (2+8)-*
/ (?)f= l~x S P{z)dz^t~1 5 P{t)dt, (6.89)
q 0
где Р (t) - стационарная плотность вероятностей величины t (ее
аналитический вид, естественно, отличается от вида Р (г)). Уравнение для
Р (t) можно записать в форме
Р(0 = о j Ц- (I)"'1 Р(Т-Цх))^Р-, (6.90)
где Т1-1^) - преобразование, обратное к Т (t) (6.88). Это уравнение можно
получить как интегральный вариант уравнения (6.72) после замены
переменной г ->t, а также вывести непосредственно, приравнивая
вероятности левой и правой частей соотношения
= 0).
Как видно из (6.87), функция ^(х) при малых й в кОнЦе каждого пустого
интервала с подавляющей вероятностью оказывается весьма малой. С другой
стороны, Т (t) при малых t и е велико. Поэтому можно предположить, что Р
(t) в основном сосредоточена в окрестностях нуля и бесконечности. Вид Р
(t) в окрестности нуля определяется уравнением (6.90):
P{t) = C±c\t\^-^
для t > 0, ?<0 соответственно. Обозначим еще вклад в нормировку Р (t) от
бесконечности через А. Тогда из (6.90) при t > 0 и КО и из условия
нормировки получим три уравнения для определения этих трех констант.
Процедура как получения, так и решения этих уравнений весьма громоздка,
однако окончательный результат имеет простой вид [49]*):
U(E) = 4 [}зКе{4П (' +0(С))- С<<1, |е|<<1'
Согласно этой формуле плотность состояний в окрестности примесного уровня
имеет интегрируемую асимметричную особенность
Р р _1+/-М? I-1/*
р(?)=с/-2!?л1-*/> ь
(6.91)
Ел
где
Г 8/27, Е<ЕЛ< 0,
\ 4/27, ЕЯ<Е< 0.
Детальное исследование [62] показывает, что следующая простая модификация
последней формулы оказывается верной в гораздо более широком интервале
энергий:
2 с
4
1- 9(e) lei1
ЦГ(?)= L- Wl; X2J (1 +0(с)), (6.92)
(з-м'К е<1. -1<е<1.
§ 7. Плотность состояний вблизи спектральных границ
7.1. Флуктуационная граница спектра уравнения Шредингера.
Рассмотренные в предыдущих параграфах примеры одномерных моделей
характеризуются одним общим свойством, а именно экспоненциальной
асимптотикой плотности состояний вблизи истинной границы спектра (см.
(6.39), (6.76), (6.77) и (6.83)). Этот факт устанавливался выше путем
детального анализа соответствующих моделей, существенно учитывавшего с
самого начала
*) Эта формула была получена также в [61] иным способом, связанным с
исследованием дифференциально-разностного уравнения (6.72).
100
статистику случайного потенциала. В то же время существуют
простые^эвристические соображения [4], объясняющие такое поведение
плотности состояний. Эти соображения удобно проиллюстрировать на
примере^модели с потенциалом, представляющим собой последовательность ям
и барьеров, длины которых являются независимыми случайными величинами с
плотностью вероятностей длин ям f(y).
В окрестности истинной границы, т. е. при малых Е, можно считать, что
спектр системы в этой области энергий формируется в результате наложения
уровней, возникающих при независимом квантовании в каждой потенциальной
яме. Но величина минимального собственного значения в яме длины у есть
я2/#2, и, следовательно, вероятность того, что в спектре отдельной
потенциальной ямы в окрестности точки Е есть уровень, имеет_порядок
f(n/YE). Так как ямы с длиной, меньшей чем я/|/*?, дают более высоко
лежащие уровни, а ямы большей длины существенно менее вероятны (/ (у)
стремится к нулю при больших у достаточно быстро), то плотность состояний
при Е0 должна быть пропорциональна /(я/j/iT). Заметим, что на последнем
