Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
шаге этого рассуждения мы воспользовались тем, что вероятность найти
уровень в точке Е пропорциональна плотности состояний р (?).
Действительно,
p(?) = L-'2<6(?-?,.)>.
i
Но <6(? - ?/)> есть плотность вероятностей того, что i-й уровень попадает
в окрестность Е. Поэтому левая часть в этой формуле есть нормированная на
единицу длины плотность вероятностей того, что какой-то из уровней
находится в окрестности Е.
Сказанное позволяет думать, что существует метод, дающий возможность
получать упомянутые асимптотики непосредственно, путем учета близости
энергии Е к истинной границе спектра на возможно более раннем этапе. В
настоящем параграфе мы и опишем такой метод [63 - 65].
Проще всего он выглядит в случае потенциала (6.66), в котором у j== Xj ц.
1-Xj являются независимыми случайными величинами с некоторой плотностью
вероятностей f(y), а все амплитуды kj случайны и независимы, причем kj ^
k0 > 0. Как уже указывалось в п. 6.7, фаза волновой функции справа от j-
го рассеивателя ф;- = ф (Xj + 0) обладает следующим свойством
"инвариантности": если длина интервала yj не слишком велика и начальная
фаза ф;- достаточно мала, то при малом k = Ye конечная фаза ф.-+1 также
мала. Более точно это означает следующее: если 0 < У/ < */кр = -
4/?0 и 0 < ф;- < фкр = arcctg {k0/2k),
то 0<ф (л:)<я для всех х таких, что 0<*-ду < уу и 0 < Ф/+! < фкр- Это
утверждение нетрудно проверить, используя
101
уравнение (6.79) и элементарные неравенства ctg* < д;"1, arcctg х < *"1
(*>0).
Отсюда по индукции находим, что в системе не слишком слабых рассеивателей
(Ау^&о>0) между двумя последовательными нулями волновой функции
содержится по крайней мере один пустой (т. е. не содержащий точек *у)
интервал, длина которого не меньше, чем yKV. Поэтому число состояний
ЬЖь{Е) с энергией, меньшей ? = для каждой конкретной конфигурации не
превосходит ЭД/, (г/кр) - максимального числа отрезков длины t/KP,
помещающихся без пересечений на пустых интервалах, содержащихся в (0, L).
С другой стороны, на каждом пустом интервале длины, большей чем njk,
волновая функция имеет по крайней мере один нуль, так что LotyTt-E)
заведомо больше числа (л;/&). Таким образом, имеем
nL^<urL(E)<mL (yKf). (7.1)
[L/л]
Но ¦?&(*)= S ть(1х), где гпь(у)- число пустых интервалов
i= 1
длины, большей у, на отрезке (0, L), т. е.
т (L)
/= 1
где m(L) - число рассеивателей на (0, L). Эта формула показывает, что при
L -j- оо отношение mi(y)/m(L) стремится к вероятности F (у) того, что
длина пустого интервала больше у. Поэтому, усредняя неравенство (7.1),
деля его на I и переходя затем к пределу L -оо, найдем
Г1 |F(h/kP). (7.2)
оо
где I- ^yf{y)dy -среднее расстояние между рассеивателями, о
Предположим, что F (у) = J / (yr) dy' при у-оо имеет вид
у
~ехр(-g(y)), где g(y)>0 и растет на бесконечности быстрее, чем In (у/l).
Тогда из (7.2) следует, что при F-+0
ln(/Jf(?)) g(n/VE). (7.3)
Эта формула с логарифмической точностью совпадает с полученной в § 5
формулой (5.33). Степенное убывание вероятности F (у) приводит к более
точному по сравнению с (7.3) результату
я/|/?), (7.4)
аналогичному (5.34). Таким образом, асимптотика числа состояний на краю
спектра в этом случае оказывается степенной.
102
Несколько уточняя приведенные выше результаты *), можно показать, что
асимптотика (7.3) либо (7.4) справедлива также для потенциала вида
( 0, Xj<X< х),
*/(*)={ Uf^U0> 0.
( i/y, Xj<C.X<C^Xj + f,
В этом случае под f (у) следует понимать плотность вероятностей
расстояний У;=х'}-х;- между двумя последовательными барьерами.
Можно рассмотреть также модель сплава, т. е. систему, для которой
потенциал имеет вид (1.17):
U(x)^kjb(x-i) (7.5)
/
(постоянную решетки принимаем равной единице). Случай. kj = = k0 > 0
соответствует хорошо известной модели Кронига-Пенни, спектр которой
расположен на интервалах (s -1)я < Ks(k0)^. ^.k^sn, а плотность состояний
на границах интервалов имеет корневую особенность.
Пусть теперь амплитуды рассеивателей являются случайными, принимающими,
для простоты, конечное число положительных значений, минимальное из
которых обозначим ku. Нас будет интересовать прежде всего нижняя граница
первой зоны, совпадающая с таковой кг (k0) для регулярной системы с kj -
k0 (о поведении <М*{Е) вблизи других границ спектра см. п. 7.3).
Легко видеть, что роль пустых интервалов в данном случае играют
"регулярные" участки, на которых все k}- - kQ. Однако фаза (р (л:) ведет
себя на регулярных участках сложным образом, что затрудняет
непосредственное перенесение на этот случай приведенных выше рассуждений,
так как в них существенно использовался линейный рост фазы на пустых
интервалах. Поэтому здесь удобно определить фазу иначе, а именно положим
, , . cosk-cos к , sin A: ib' (х) /п с\
ctg ф (х)-------------=------------]- ттт-г > (7.6)
bTV 7 s.nк s.n/c kty(x) v 7
где к - квазиимпульс в периодическом потенциале (7.5) ckj = k0,
а интересующий нас нижний край зоны k -+¦ кг (k) + 0 соответствует к-* +
