Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лифшиц И.М. -> "Введение в теорию неупорядоченных систем " -> 48

Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.

Лифшиц И.М., Гредескул С.А., Пастур Л.А. Введение в теорию неупорядоченных систем — М.: Наука, 1982. — 360 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriyuneuporyadochennihsistem1982.djvu
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 145 >> Следующая

предыдущем
пункте для описания примесного потенциала U (х) (см. (8.5)),
а результаты [68] будут при этом получены после некоторого предельного
перехода. Исходное уравнение Фоккера-Планка
(8.6) для Р, (а) справедливо и в этом случае. Отличие состоит лишь в том,
что в этом уравнении теперь фигурирует несколько иная функция:
ФЛ°0 - ? +A, cos 2а, (8.19)
и изменяются условия симметрии (8.7):
р(?) = р(-Е). (8.20)
Кроме того, под Qs{a), Ts(a) в формулах этого параграфа следует понимать
функции
п _ aroct2 (У (E"h&s)/(E-&s) ctg а)
as V Дs
T (") - ln t(ct2 " + ctg otf)/(ctg a-ctg ",)] (8 91)
2a, Val-E2 ctg <*. = Г (Д. -?)/(Д, + E).
В соответствии с соотношением (8.20) всюду ниже рассматривается число
состояний оАГ (0, Е) = (Е) = J (Е) (в этой модели
оказывается всегда У(0) = 0). Так же, как и ранее, уравнение (8.6) с Ф,
(а) из (8.19) может быть проинтегрировано в квадратурах, что приводит к
различным выражениям для J\П (Е) в зависимости от значений энергии Е и
параметров щели А,. Ниже мы выпишем и исследуем лишь те из них, которые
отвечают наиболее интересному поведению числа состояний.
I. 0<?'<Ао<А1. В этом случае oV(?) = 0, т. е. в спектре системы имеется
щель. Существование ее вытекает как из точных уравнений (8.4) и (8.6),
так и из общеоператорных соображений. Именно в этом месте модель с r](x)
= (A1 - A0)s(x) существенно отличается от рассмотренной в [68], где щель
в спектре отсутствовала при любых значениях параметров задачи.
II. 0<А0<?'<А1. Для числа состояний получаем формулу (8.8), в которой R
(а) = Q0 (а) + 7\ (а). Интересно исследовать поведение (М*{Е) вблизи
истинной флуктуационной границы ?-"-A0-f-0. Основной вклад при этом дает
интегрирование по тому же квадрату, что и выше (см. рис, 5), а сама
асимптотику
Ш
имеет вид
ехр
ЛГ (?)
( а" Ve2-До)
+ Г2 (<?+1) W2 t <р) * ~я. -г
(8.22)
где
п = J_ 1f Ad~A я - р я0До Iх Ai-До' V
Со До
fll (Al+До)
В отличие от результата (8.9), предельный переход к случаю, когда щель
захлопывается, Д0-^- + 0 нельзя совершить непосредственно в формуле
(8.22), что указывает на изменение вида асимптотики при Д0 - 0. В самом
деле, полагая в исходной формуле (8.8) Д0 = 0 при ?¦->- + 0, получаем
{ р\ ехр (l/gpAi) ехр (- л/2а0Е)
^ w ~ (во + flx) Г2(1/2йхДх) (а0Е)1/а^ '
Отметим, что в предельном случае Д2, Е^>А0, где спектр нечувствителен к
существованию нижней зоны, точная формула (8.8) с учетом (8.19) и (8.21)
переходит в выражение (6.376) для числа состояний уравнения Шредингера с
потенциалом вида (8.5).
III. 0<?<-Д0<Дл. Число состояний определяется формулой
a0"i

ао ~Ь ат) Ж (Е)
| Ф" (а) Ф2 (а') |
(8.23)
где R(a)^T1(a) - T0(a), а область интегрирования S указана
штриховкой на рис. 6. В этом случае наибольший интерес представляет
поведение плотности состояний при Е -> 0. Из (8.23) при ? - Д0
и Д>0 получаем асимптотическое выражение
Л*(?)*-{рг(У}(2в) + ЛГЦ2е))-
(8.24)
V =
D
8-2 D ' 8
gpgx 1 Ар (Д1 ао~\~аг
4?0 ' Ео1
4 ' "о+fli
1
1
fliAi
О0Д0
При Е<^.Е0 отсюда следует, что плотность состояний в случае v > 0 имеет
вид
<8-25)
119
Поэтому при малом перекрытии щели (v > Vs) плотность состоя* ний в центре
зоны стремится к нулю. По мере увеличения перекрытия (с ростом | Л01)
величина v убывает и при Д0 - = - fljAj/fao (Д^! + I)] точно равна Vs" а
плотность состояний в этом случае имеет вид р (0) D/nE0 = const. Наконец,
при сильном перекрытии (0 < v < Vs) в плотности состояний имеется
особенность, описываемая формулой (8.25). В предельном случае v -0 эта
особенность несколько изменяется и приобретает точно дайсоновский вид
(см. (5.30)):
р(Е) = - 2D/(E In3 Е).
Возникновение особенности у плотности состояний в центре зоны обусловлено
не столько конкретными вероятностными свойствами Д(х), сколько самой
моделью флуктуирующей щели, так как точка Е = 0 в такой модели является
выделенной с самого начала симметрией модели.
После предельного перехода
Дх->- оо, Д0-*-оо, tfi = яа -> о, <Д> = const, (Д? + До) аг = const,
превращающего флуктуации щели в гауссовский белый шум, формула (8.24)
описывает всю область значений энергии 0 < Е < оо.
IV. 0 < Д0 < ДЛ < Е. Здесь df (?) определяется формулой (8.10) с (а) из
(8.19) и R (а) = Q0 (а) + Q* (а). При Е оо получаем
<Аг> = • (8.26)
Дальнейшая часть этого пункта по своему содержанию совершенно аналогична
концу п. 8.1. Поэтому мы лишь кратко перечислим соответствующие
результаты.
а) Высокоэнергетическая асимптотика числа состояний, вычисленная путем
применения .теории возмущений к уравнению (8.4) с последующим
использованием (6.3), имеет вид
оАГ (Е) = л-1 УЕ2-< Лу (1 - В а (0)/2 Е*)
и оказывается, как и (8.13), более точной по сравнению с формулой (8.26),
полученной из точного решения. Здесь
В А (х) - < Д (*) Д (0)> - <д>>, (8.27)
причем в данном случае
В. (*) - (А, - AJ- ^ ехр (-^^) •
.6) Аналог утверждения (8.14) в модели флуктуирующей щели формулируется
следующим образом.
120
Пусть б -[(?-A0)/AJV4 1. Тогда, если а(0) <акр = я/2 - б,
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 145 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed