Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
(7.13) в общем случае принимает вид
ctg X/+i = ctg (ху + к) + a, /R. (7.16)
Для числа состояний JST (со2, о^) в окрестности флуктуационной
границы в силу условия к((ода) = 0 и вытекающего отсюда и из
106
(7.14) соотношения Xn+i W) = Xi((°m) = o(N) получаем
оГК. <) = lim (Na)-1 f^XN+1 ((r)!)1 • (7.17)
N-voo I. 71 J
Полная аналогия формул (7.7) и (7.16) позволяет немедленно перенести
результат (7.8) и на случай изотопически неупорядоченной цепочки, понимая
теперь под к величину
к - arccos (М°соа/2/С - 1).
Уравнение колебаний изотопически неупорядоченной цепочки имеет вид
Мло2
uj -
К такому же виду, после замены Vj- = K/(u/+1-~u})y приводится уравнение
колебаний цепочки со случайными силовыми константами:
ЛГоо2 0
К~ Vj = vi+1 ~ + vf~i'
В этом случае окрестности флуктуационной границы соответствуют участки с
максимальными значениями упругих связей, а для числа состояний получается
вновь результат (7.8), где к следует заменить на arccos (1/2Mco2min /С"1
- 1).
7.3. Устойчивая граница. До сих пор в этом параграфе мы интересовались
флуктуационными истинными границами, т. е. такими, в окрестности которых
спектр присутствует лишь благодаря маловероятным участкам реализаций
потенциала. Однако существуют истинные границы и другого типа, в
окрестности которых асимптотика плотности состояний также может быть
вычислена непосредственно и имеет в определенном смысле универсальный
характер. Простейшим случаем, приводящим к такой асимптотике, является
область больших энергий для уравнения Шредингера со случайным
потенциалом. Другим, более содержательным примером служит нижний край
акустической зоны со2 -г- 0 в неупорядоченной цепочке со случайными
массами (или упругими постоянными). Аналогичная ситуация также имеет
место вблизи верхних (нижних) границ зон k - s:t в модели случайного
сплава (7.5) из п. 7.1 с kj > 0 (kj < 0). Характерное свойство
перечисленных границ, которое и обусловливает универсальность
асимптотики, состоит в том, что они являются границами спектра всех
чистых компонент системы. Во всех случаях первый член асимптотики числа
состояний, отсчитанного от соответствующей границы, оказывается
пропорционален корню квадратному из энергетического параметра, как и в
упорядоченной системе*).
*) Поведение плотности состояний в окрестности устойчивой границы в
доогомерном случае обсуждается в п. 19.?т
107
В частности, для неупорядоченной цепочки число состояний имеет вид
off (со3) = (эта)-1 (AlK^co2)1/*, (c) -0, (7.18)
где М и /С-1 обозначают средние значения масс и обратных упругих
постоянных. Поскольку на границе акустической зоны, со -* 0, среда может
рассматриваться как непрерывная, для получения этой формулы достаточно
воспользоваться непрерывным аналогом уравнения колебаний (7.10), имеющим
вид
-МИЛИ=^(/(И^). (7.19)
Перейдем к новой переменной
, , К (х) du
* \"/ ~ ^ ф dx
и выделим средние значения и флуктуации случайных массы М (я) и обратной
упругой постоянной /С_1(*):
М(лг)=М(1+р (*)), К'1(х) = К^( 1 + "(х)).
Тогда уравнение (7.19) приобретает вид
Z =-/С-122 - Мсо2 - /С_1Х22 - Мрсо2.
Введем теперь фазу ф с помощью соотношения
г = ctg^>, k =¦
Нетрудно убедиться, что число состояний о^Г* (со2) можно вычислить с
помощью фазы ф:
которая, в свою очередь, удовлетворяет уравнению ф' =tk(\ -f* к СОЗаф -J-
[X 5Шаф).
Подставляя сюда ф=?&д:-{-г, видим, что с точностью до второго порядка по
k включительно <v> - 0, откуда и вытекает формула (7.18).
Если случайными являются только массы или только упругие постоянные, то
можно развить более систематический метод, позволяющий получать и
следующие члены разложения оЛГ(ю2) по степеням
Рассмотрим сначала изотопически неупорядоченную цепочку щ[введем фазу ЗС,
как это делалось в формуле (7.13) предыдущего пункта, заменяя при этом М°
на М. В этом случае согласно (7.16)
CtgX/+i = ctg(X/ + K) + 2-4/, (7.20)
108
где величины
Aj - (Mj - М) соа/(2К sin к)
вблизи рассматриваемой границы ю->-0 малы. Полагая gjy=/7c+Vy и учитывая,
что %/ = 0 при (о = 0, из (7.17) получаем формулу для числа состояний
"К+ ??.-$?-• <7-21>
а из (7.20)-уравнение для фаз vf:
/
V , Л; 11 -COS L ЦК-}-V,*_t)l
v,=-Larctg г л 2(7_22)
A i [ 1 - cos 2 (t?c 4- у,- _ i)] firl ° 1 +Ai sin 2 (t/c-j- Vf _x)
В низкочастотной области ю -> 0 малость величин A t ~ (о позволяет решать
этй уравнения с помощью теории возмущений по А[. Подставляя приближенное
решение уравнения (7.22), полученное с точностью до величин второго
порядка включительно, в (7.21) и производя усреднение, получаем
со
^ м S ОМ/> sin 2 jK. (7.23)
/= i
Точно так же выглядит разложение числа состояний и для цепочки, в которой
случайными являются только упругие постоянные, однако величины Aj
определяются теперь формулами
} 2 sin к * '
а к здесь и в (7.23) есть квазиимпульс в идеальной цепочке, в которой
Kf1- К'1.
С помощью такой же процедуры для числа состояний частицы в случайном
потенциале при k =* Y Е ~> °° получаем
