Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
при вычислении низкочастотной проводимости и коррелятора плотность-
плотность при совпадающих энергиях рх (х,Е) в квазиклассической области.
Эти величины найдены в §13. Там же содержится краткое обсуждение вопросов
кинетики одномерных неупорядоченных систем и дан обзор некоторых
дальнейших результатов.
§9. Локализация состояний
в системах больших конечных размеров
Излагаемый ниже подход к локализации в одномерных системах больших, но
конечных размеров был сформулирован Моттом и Тузом в [72] (см. также [8]
и [31]) и проанализирован в [73, 33].
9.1. Построение состояний одномерных конечных систем. Рассмотрим два
решения уравнения Шредингера ^(х) и ф2(х), удовлетворяющие условиям
фЬ2(±1) = sina±, 2 (+L) = cosoc± на левом и правом концах интервала ( -
L, L), занимаемого системой,
123
Здесь а± -углы, задающие граничные условия на соответствующих концах, так
что для всех состояний нашей системы выполняются соотношения
'Ш-сига ^(~L)-ctgg
ф (L) - (r) +' ф{-Z.) g
Сошьем теперь эти решения в некоторой точке х0, отстоящей достаточно
далеко от обоих концов интервала. Условие сшивки Ф1 (*о)ЛК (*о) = Ф2
(*о)/Фа (*о) определит как раз те значения Е, которые будут уровнями
энергии нашей системы (нетрудно убедиться, что эти значения одни и те же
для всех х0). Полученные же в результате этой процедуры состояния будут
совпадать с ф2 (х) и % (х) соответственно слева и справа от точки х0.
Таким образом, определенную информацию о состояниях рассматриваемой
системы можно получить, изучая свойства функций ф^х).
В силу пространственной однородности системы конкретное положение
соответствующей точки несущественно, поэтому будем считать, что она
совпадает с началом координат. Так как нас в первую очередь интересуют
свойства роста и убывания ф1,а(*), то естественно ввести величину г2 (х)
- ф2 (х) + ф'2 (х), которая нигде не обращается в нуль и вместе с фазой а
(х), введенной в §6, образует систему полярных координат в "фазовой"
плоскости ф, ф', так что
ф = г since, ф' = г cos а.
Поэтому фаза а(х) ответственна за осцилляции волновой функции ф(х), а
огибающая г(х)-- за ее рост. Напомним ситуацию, имеющую место в
упорядоченном случае, когда потенциал U (х) есть неслучайная
периодическая функция координаты. Тогда, согласно блоховской теории, при
каждых фиксированных Е и а = а(0) существует предел
<9Л)
Этот предел как функция фазы а при заданной энергии Е либо равен нулю для
всех а, либо принимает два ненулевых, противоположных по знаку значения:
+ у(Е) и - у{Е), причем последнее значение возможно только при одном а,
когда в общем решении уравнения, являющемся в этом случае линейной
комбинацией экспоненциально растущей и убывающей функций, коэффициент при
растущем члене обращается в нуль.
В полностью упорядоченном кристалле такие решения, ведущие себя при
больших х как ехр(±ух), играют весьма незначительную роль в формировании
спектра. Действительно, растущие решения вообще не могут в этом
участвовать, поскольку состояния, получающиеся при их сшивании, должны
быть лока-
124
лизованы в глубине кристалла, а это запрещено условиями периодичности.
Что же касается экспоненциально убывающих 'ф(х), то они^могут быть
использованы в описанной^ выше процедуре сшивки, однако получающиеся при
этом состояния будут локализованы вблизи поверхности кристалла и поэтому
составляют лишь малую долю общего числа состояний достаточно большого
образца. Отсюда, в частности, следует, что значения а, которым при
фиксированном Е соответствуют экспоненциально убывающие решения, должны
встречаться относительно редко.
. Все это находится в соответствии с тем хорошо известным фактом, что
энергии, при которых существуют экспоненциально растущие и убывающие
решения, лежат в запрещенных зонах бесконечного упорядоченного кристалла,
а энергиям из разрешенных зон соответствуют блоховские функции,
являющиеся модулированными плоскими волнами.
Однако если даже слабо нарушить периодичность, например, путем введения в
кристалл одного примесного атома, то указанный запрет будет снят и в
запрещенных зонах появятся примесные уровни, состояния которых
конструируются из растущих от границ кристалла функций и поэтому
локализованы глубоко внутри него. Эта ситуация, которую в упорядоченных
системах следует считать скорее исключительной, нежели типичной,
показывает тем не менее, каким образом могут возникать локализованные
состояния. Для этого, как мы видели, нужно, чтобы, во-первых, предел
(9.1) существовал, во-вторых, чтобы для интересующих нас значений энергии
он был положительной величиной.
9.2. Экспоненциальный рост волновых функций с фиксированной в некоторой
точке логарифмической] производной. Оказывается, что в отношении первого
из сформулированных свойств неупорядоченная система ведет себя, по
существу, так же, как и упорядоченная. Именно, как обнаруживает
специальный анализ, для случайных потенциалов, обладающих свойством
пространственной однородности, при каждых фиксированных Е и U (х)
