Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
знания функции Р (г). В п. 6.4 Р (г) была найдена для стохастической
модели Кронига -Пенни. Используя это выражение для P(z), можно написать
замкнутую формулу для у(Е), которая, так же как соответствующая формула
(6.37) для оЛР(?), выражает у(Е) через интегралы от элементарных функций.
Мы, однако, не будем приводить эту формулу, поскольку она весьма
громоздка. Укажем только более простую, которая получается из нее в
предельном случае потенциала типа белого шума (см. пп. 6.2, 6.3):
оо X
Y (?¦) = оДГ (Е) J dxx J dy ехр (Ф (у)-Ф (х)) =
- оо - оо
= оАГ(?)^р ^Vyexpf - у~ ~^Айу,Ф(х) - V3x3-f ExlD'l*. о
Отсюда и из (6.19) и (6.20) вытекает, что
Y(?)"|?|1/., Е-+- оо, (10.12а)
y(E)&D/4E, Е -*• -J- оо. (10.126)
Подобные асимптотики для у (Е) можно написать и в общем случае
стохастической модели Кронига - Пенни:
у (?)"| Е р/*, Е -"- - оо, (10.13а)
Формула (10.13а) имеет простой смысл. Действительно, так как
соответствующий потенциал принимает только положительные значения, то при
Е -> - оо им можно пренебречь, а тогда решения уравнения Шредингера имеют
вид exp (± | Е |1/гх), т. е. у(Е) = \Е\1^. Интересно, что согласно
(10.12а) такая ситуация сохраняется и для потенциала типа белого шума,
который может иметь весьма большие отрицательные флуктуации.
Переходя к обсуждению формул (10.126) и (10.136), заметим прежде всего,
что обе они являются первыми членами асимптотик при больших Е интеграла*)
^ J Bv(x)cos2kxdx, k2 = E, (10.14)
в который в качестве Bv(x) подставлены корреляционные функции
соответствующих потенциалов из (6.11) и (6.42). Эта фор-
мула может быть получена и непосредственно из уравнения Шредингера с
помощью теории возмущений. Действительно, введем фазу и огибающую
волновой функции несколько иначе: ф(х) = =г (х) sin ф (х), i|/ (х) = kr
(х) cos ф (х). Поскольку
lim х-1 In г (х) = lim x_1 In г (х),
то у(Е) можно находить и с помощью г(х). Из уравнения Шредингера
вытекает, что (ср. с (6.2))
q>'=k-~~Е~' sin Ф (х), (10.15а)
X
In г (х) =1п г (0) J v (х') sin 2ф (х') dx', (10.156) о
и поэтому
X
у(Е) = lim <и(х')зш2ф(х')>с?х\ (10.16)
*-оо Q
При v<^.k2 мы можем, вычисляя у (Е) по этой формуле, использовать для
ф(х) выражение, полученное из (10.15) с помощью теории возмущений.
Проделывая это вычисление с точностью до членов первого порядка по v/k2
включительно и подставляя результат в (10.16), получим как раз (10.14).
При этом выясняется, что условием малости следующих членов такого
разложения является достаточно быстрое убывание высших корреляторов
потенциала. Таким образом, формула (10.14) для асимптотики у(?) при
больших Е справедлива для весьма широкого класса случайных потенциалов, а
не только в случаях (10.12) и (10.13).
*) Мы предполагаем здесь и ниже, что энергия отсчитывается от среднего
потенциала.
135
Из этой формулы, в частности, следует, что энергетическая зависимость
у(Е) вида (10.126) верна и для произвольного потенциала при энергиях
?<<|г"2, где гс - корреляционный радиус потенциала v(x), т. е.
расстояние, на котором существенно убывает Bv(x). Действительно, если
выполняется указанное неравенство, то cos2&jc в интеграле (10.14) можно
заменить единицей-его значением в нуле, в результате чего оказывается,
что
= Ш ] Bv(x)dx = ^, (10.17)
00
где, как и в п. 6.3, мы обозначили через D величину J Bv(x)dx.
о
Сказанное находится в соответствии с результатами п. 6.3, где показано,
что при вычислении среднего значения любой функции от г - ф7ф (или от
фазы волновой функции) в области энергий, находящихся на конечном
расстоянии от среднего значения U = <JJ {х)У в масштабе потенциал общего
вида можно
заменить гауссовским белым шумом. В силу (10.2) показатель у(?") является
величиной такого типа, и поэтому к нему применимо доказанное в п. 6.3
утверждение. Значит, простая зависимость вида (10.17) для у(Е) имеет
место в энергетическом интервале, выделяемом следующими неравенствами:
<уа (x)yrc = D2/з <^E-U <4г~\ (10.18)
где U(х)-U-\-v(x).
Таким образом, формула (10.14) имеет интерполяционный характер, давая
асимптотику у{Е) как в области энергий (10.18), так и в области Е-U^>
г^2, однако здесь вид у(Е) оказывается зависящим от предполагаемой
гладкости реализаций случайного потенциала. Более подробно мы обсудим
этот вопрос ниже. Сейчас же заметим, что (10.14) можно рассматривать как
обобщение асимптотики (10.126), отвечающей белому шуму, если в (10.126)
вместо 2D= J B(x)dx писать
2D (Е) - J В (х) cos 2kx dx, D - D (0).
- oq
Чтобы лучше понять эту, пока формальную, аналогию соотношений (10.126) и
(10.14), мы сейчас получим их с помощью несколько иных рассуждений. Они,
будучи по существу весьма близкими к выводу, основанному на теории
возмущений, имеют форму, позволяющую использовать их и при вычислении
других характеристик одномерных неупорядоченных систем в области больших,
в определенном смысле, энергий (см. §§11, 13, 29).
136
Будем исходить из (10.2) и уравнения для ?=slnr, которое получается
