Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
термодинамических потенциалов.
*) Не смешивать химический потенциал газа как такового с (равным нулю)
химическим потенциалом газа квазичастиц!
2) Здесь необходимо сделать замечание, связанное со сделанными нами с
самого начала пренебрежениями. При g = 0 в гамильтониане (39,8) вообще не
остается взаимодействия между частицами, и можно было бы подумать, что мы
приходим к идеальному ферми-газу, а не "нормальному" неидеальному газу. В
действительности, однако, в гамильтониане (39,8) уже были сделаны
пренебрежения, после которых не может идти речи о вычислении абсолютной
величины энергии. Были опущены члены взаимодействия (несущественные для
нахождения формы спектра и разности - Q"), которые дают вклад в энер-
гию, большой по сравнению с экспоненциально малой величиной (40,8) (это
как раз тот вклад, пропорциональный Ng, который дается формулой (6,13)).
§ 40] СВЕРХТЕКУЧИЙ ФЕРМИ-ГАЗ. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА 195
При абсолютном нуле Л = Д0, и, согласно (39,18), имеем
dAp _2я2Д3А0
1g~~ mpFg2 '
Переходя в (40,8) от интегрирования по dg к интегрированию по dA0, найдем
следующее выражение для разности энергий основных уровней сверхтекучей и
нормальной систем:
E-E" = -V^*l. (40,9)
Отрицательный знак этой разности и означает упомянутую в начале параграфа
неустойчивость "нормального" основного состояния в случае притяжения
между частицами газа. Отнесенная к одной частице, разность (40,9)
составляет величину ~ Д2/[х.
Перейдем к обратному случаю, Т->ТС. Дифференцируя равенство (40,3) по g,
находим
К (3) д dA _ dAo __ 2пФ dg
4 я2 Г2 Д
Подставим отсюда dg/g2 в формулу (40,8) понимая ее как разность свободных
энергий:
Fs-Fn = - V7^mpF\ A3dA s п 8пФт2 J
о
и окончательно, с учетом (40,5),
Fs-Fn = - V^^}-( 1--V. (40,10)
f 7?(3) К3 \ Тс) '
Отсюда разность энтропий:
7? (3) Дз ^ тс
Разность же теплоемкостей стремится при Т ->ТС к конечному значению
Cs-Cn - V ^PfT4c-, (40,11)
* " it, (3) %3 \ /
т. е. в точке перехода испытывает скачок, причем Cs > Сп, Теплоемкость
нормального состояния дается (в первом приближении) формулой идеального
газа (см. V (58,6)); выраженная через pF, она имеет вид Cn = VmpFT/3h3.
Поэтому отношение теплоемкостей в точке перехода
Ш=ет)+1-2'43- <40'12>
196
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
[ГЛ. V
В отношении своей сверхтекучести газ характеризуется разделением его
плотности р на нормальную и сверхтекучую части. Согласно (23,6)
нормальная часть плотности
4 °°
8я . dtt , pf С dn ,
3(2it&)3J ds Зя 2K3vF
- oo
Полная же плотность газа связана с pF посредством
__mN___8л ppm
V 3 (2nti)3 ' Поэтому
Рп
р
"-2 (40,13)
Этот интеграл не требует особого вычисления, так как может быть сведен к
известной уже функции Д (Т). Продифференцировав уравнение (40,1) по Г и
сравнив получающийся при этом интеграл с (40,13), можно убедиться в том,
что
1= 1-^. (40,14)
Подставив сюда предельные формулы (40,2), (40,5), получим Т-+ 0:
2л=(^р.у!г е-д"/г) (40,15)
T-*7V^ = 2(l-!-). (40,16)
Наконец, необходимо сделать еще два замечания относительно области
справедливости полученных формул по температуре.
При приближении к точке перехода Тс становятся существенными процессы
взаимодействия квазичастиц (не учитываемые в изложенной теории); именно
эти процессы ответственны в данном случае за возникновение особенностей
термодинамических величин, характерных для точки фазового перехода
второго рода. В достаточной близости к этой точке полученные выше формулы
должны в конце концов стать неприменимыми. Но в силу наличия малого
параметра (константы связи g) в рассмотренной модели это наступает лишь
при чрезвычайно малых значениях Тс-Т; мы вернемся еще к более подробному
обсуждению этого вопроса в § 45.
Как и в сверхтекучей бозе-жидкости, в рассматриваемом ферми-газе (в
противоположность ферми-газу с отталкиванием --ср. § 4) может
распространяться звук (со скоростью u~pF/m, определяющейся обычным
образом сжимаемостью среды). Это
§ 41] ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ СВЕРХТЕКУЧЕГО ФЕРМИ-ГАЗА 197
значит, что наряду с рассмотренным здесь спектром возбуждений
фгрмиевского типа в спектре такого газа существует также и фононная,
бозевская, ветвь возбуждений. Обусловленная фо-нонами теплоемкость
пропорциональна Т3 с малым коэффициентом, но при Т ->-0 в конце концов
она должна стать преобладающей над экспоненциально убывающей
теплоемкостью (40,6).
§ 41. Гриновские функции сверхтекучего ферми-газа
Перейдем к построению математической техники гриновских функций в
применении к сверхтекучим ферми-системам!).
Мы видели в § 26, что в терминах ^-операторов бозе-эйн-штейновская
конденсация в бозе-системе выражается существованием отличных от нуля
предельных (когда число частиц N-> оо) значений матричных элементов,
связывающих состояния, отличающиеся лишь изменением N на единицу.
Физический смысл этого утверждения состоит в том, что удаление или
прибавление одной частицы в конденсат не меняет состояния
макроскопической системы.
В случае сверхтекучей ферми-системы то же самое должно Относиться к
