Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
(41,21)
Для функции же F+ (со, р) находим теперь
р) = f+K Р)|г=о-^[6(со-в) + 6(со + в)], (41,22)
где первый член есть функция (41,19), относящаяся к Т - 0. Подставив это
выражение в (41,20) и произведя интегрирование, мы вернемся к уравнению
(39,15), определяющему А (Г).
Уравнения (41,14) можно изобразить в диаграммном виде аналогично тому,
как для сверхтекучей бозе-системы были пред-
§ 42] ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ФУНКЦИИ ГРИНА СВЕРХТЕКУЧЕГО ФЕРМИ-ГАЗА 203
ставлены уравнения (33,7). При этом функции G, F, F+ изображаются теми же
графическими элементами (33,6) - одно- и двусторонними стрелками. Два
уравнения (41,14) записываются в виде
Тонкой стрелке отвечает множитель iG{0)(P), где G(0) (Р) - гри-новская
функция идеального ферми-газа. Входящей же в вершину и выходящей из нее
волнистым линиям отвечают соответственно множители IgB и -igS*. Сравнив
(41,23) с (33,7), видим, что эти последние множители соответствуют
собственноэнергетическим функциям i'202 и i'220, т. е. представляют собой
первые приближения для этих величин. Отметим, что новыми элементами-
двусторонними стрелками и волнистыми линиями - ограничиваются особенности
диаграммной техники для сверхтекучих ферми-систем; в отличие от случая
бозе-систем, "тройные" вершины здесь не возникают. Поэтому диаграммная
техника оказывается здесь гораздо проще и ближе к "обычной", чем для
сверхтекучих бозе-систем.
§ 42. Температурные гриновские функции сверхтекучего ферми-газа
В § 41 был определен энергетический спектр сверхтекучего ферми-газа путем
использования обычных, "временных", гри-новских функций. Однако для
решения более сложных задач (и прежде всего для исследования свойств
системы во внешних полях) более удобен математический аппарат
температурных гриновских функций (А. А. Абрикосов, Л. П. Горьков, 1958).
Температурная функция $ар определяется той же формулой (37,3), что и для
нормального ферми-газа. Температурные же функции iFap и <Ftt3
(соответствующие временным функциям Faр и FJp) определим аналогичными
формулами
^аЗ (Ti, IY, т2, г2) = 2 <m, NI ) т, N + 2>,
_ т - ^ ^ (42 1)
гг; Т2, г2) =2<(tm), Л7 + 2|гоТг?,й?$[т, N>.
т
Спиновая зависимость этих функций отделяется (аналогично
204
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
[гл. V
(41,5)) в виде множителей gap1):
? а& = ga&?, ? "Р = - ga$? • (42,2)
Как и Ъ, функции f и f зависят только от разности т = = Tj-т2 и
удовлетворяют соотношениям (37,6) (с верхним знаком):
Г(т)=-г(т + 1), ?(т) = -? (т + 1). (42,3)
Ряды Фурье по т для этих функций содержат, следовательно, только нечетные
"частоты" (37,8а): = (2s-f-1) пТ.
Мацубаровские ^-операторы при т = 0 совпадают с гейзенберговскими при t -
0:
WM(x = 0, г) = Ф(* = 0, г).
Сравнив определения функций f, f с определениями F, F+, найдем поэтому,
что
?(0, г; 0, г) = 3 (г), ? (0, г; 0, г) = S* (г), (42,4)
где под S надо понимать конденсатную волновую функцию, усредненную по
Гиббсу, т. е. выраженную через температуру системы.
Покажем, каким образом с помощью температурных функций Грина можно снова
получить энергетический спектр сверхтекучего ферми-газа при отличных от
нуля температурах.
Уравнения для температурных функций Ъ, ?, ? выводятся в точности
аналогично выводу уравнений (41,12-13), причем вместо дифференцирования
по t производится дифференцирование по т, а вместо уравнений (41,8-9)
используются уравнения, отличающиеся от (41,8-9) заменой it-<-т. Как и в
(41,11), из среднего значения произведения четырех мацубаровских
операторов выделяются члены, содержащие матричные элементы для переходов
с изменением числа частиц на 2. В результате получим уравнения
(~Й + ё + |Л):§(т' г; T'' 0+?ЗГ(т,г;т',г')=6(т-т')6(г-г'),
(42,5)
+ ё + (т> г; т'' f')-~gS*^(r,r; г', г') = 0.
J) Разные знаки в определениях JF и JF (в противоположность одинаковым
знакам в (41,5)) целесообразны в связи с отсутствием в определениях
(42,1) множителя t, который был о (41,3).
§ 42] ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ФУНКЦИИ ГРИНА СВЕРХТЕКУЧЕГО ФЕРМИ-ГАЗА 205
После перехода к фурье-компонентам эти уравнения принимают вид
где снова e2 = A2 + r]p, A=gE (причем это решение определено однозначно и
никаких S-функций-как это было для функций G и F+ - вообще не содержит).
Условие, определяющее энергетическую щель в спектре, получается теперь из
равенства
и произведя суммирование геометрической прогрессии под знаком
интегрирования.
P)+gSF(S,.P) = i. -^ (?,, р)-ffS*" (С" Р)=о.
(42,6)
Решение этих уравнений:
(42,7)
(42,8)
н* = ^(т=0,г=0)=г р)-Цз.
или, после подстановки (42,8):
(42,9)
Суммирование по s осуществляется формулой1)
00
и приводит к равенству
совпадающему с (39,15).
1) Эту формулу можно получить, написав
(2s+l)2n2 + aa 2a |_a + in (2s +1) ' a-in (2s +1)
[
СО
~~й
о
206
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
[гл. V
§ 43. Сверхпроводимость металлов
Явление сверхпроводимости металлов представляет собой сверхтекучесть
электронной ферми-жидкости в них, подобную сверхтекучести рассмотренного
в предыдущих параграфах вырожденного ферми-газа. Разумеется, во многих
