Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
189
ктров рассматриваемого типа. Вычислим прежде всего значение этой величины
при Т - 0 (обозначим его Д0).
При Т = 0 квазичастицы отсутствуют, так что пр = 0 и уравнение (39,15)
принимает вид
Г (39,16)
2(2п%)3) Кд;
Сразу же отметим, что это уравнение заведомо не могло бы
иметь решения (для Д0) при g < 0, т. е. в случае отталкивания
(знаки обеих сторон уравнения были бы заведомо различны).
Основной вклад в интеграл в (39,16) вносит область импульсов, в
которой -р | <^.vPpF~ |л и интеграл имеет логарифмический
характер (малость Д0 по сравнению с |л подтвер-
ждается результатом). Обрезая логарифмический интеграл при некотором г] =
е ~ |л, имеем*)
3- - 2р\ -
Г________рЧр____________ PF_ Г drI
J [At + vf (рр-р)а]1/а ~ vF J (До + Л2)1/
Поэтому находим
^1п -
Vp До
(39'17)
откуда
Д0 = ё ехр (- Щ-) = ё exp (- . (39,18)
Это выражение можно записать также и в виде
Д0 = ? exp (- 2/gVp), (39,19)
где vF = трр/пгА3-энергетическая плотность числа состояний частицы на
ферми-поверхности (vde-число состояний в интервале de).
Наибольший интерес представляет форма энергетического спектра системы-
энергия элементарных возбуждений ер+ = = ер_ = s(p). Мы найдем ее по
изменению энергии всей системы при изменении чисел заполнения
квазичастиц, т. е, проварьиро-вав Е из (39,10) по пра. Поскольку значения
ир, v" уже выбраны из условия равенства нулю производных от Е по ним,
*) При р^>рр величина г\р & р2, и интеграл (39,16) в написанном виде
расходится, как р. В действительности, однако, эта расходимость фиктивна
и устраняется перенормировкой связи между константой g (т. е. длиной
рассеяния а) и потенциалом взаимодействия, подобно тому, как это было
сделано в §§ 6 и 25. Последовательное проведение такого довольно сложного
расчета дает возможность определить также и коэффициент
пропорциональности между параметром обрезания г и химическим потенциалом
[л: ё=(2/е)7^3 u=0,49u (см. Л. П. Горьков, Т. К. Мелик-Бархударов, ЖЭТФ
40, 1452 (1961)).
190
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
[гл. V
то варьирование Е по пра можно производить при постоянных uf, vp. Таким
образом,
Вычисление производной с использованием (39,11-13) приводит к простому
результату:
Мы видим, что энергия квазичастицы не может быть меньше величины А,
достигаемой при p = pF. Другими словами, возбужденные состояния системы
отделены
параметра - константы связи g; последняя входит в знаменатель показателя
экспоненты, так что значение g = 0 является существенно особой точкой
функции Л0 (g).
Спектр (39,20) удовлетворяет установленному в § 23 условию
сверхтекучести: минимальное значение s/р отлично от нуля. Поэтому ферми-
газ с притяжением между частицами должен обладать свойством
сверхтекучести.
На рис. 5 сравнены законы дисперсии квазичастиц в сверхтекучей (верхняя
кривая) и нормальной ферми-системах. В последней этот закон изображается
(в соответствии с указанной в конце § 1 трактовкой) двумя прямыми e =
vF\p- pF\.
Величина щели А зависит от температуры, т. е. сама форма спектра зависит
от статистического распределения квазичастиц - ситуация, аналогичная
тому, что имеет место для ферми-жидкости нормального типа. Поскольку при
возрастании температуры числа заполнения квазичастиц возрастают (стремясь
к 1), то уже из уравнения (39,15) видно, что А при этом уменьшается и при
некоторой конечной температуре Тс обратится в нуль: система перейдет из
сверхтекучего состояния в нормальное. Эта точка представляет собой
фазовый переход второго рода (подобный Х-переходу в сверхтекучей бозе-
жидкости).
Наличие энергетической щели в спектре вырожденного ферми-газа и является
выражением эффекта "спаривания", о кото-
8 (Р) =
(39,20)
Е
от основного энергетической щелью. Обладая полуцелым спином, квазичастицы
должны появляться парами. В этом смысле можно сказать, что величина щели
равна 2А. Обратим внимание на экспоненциальную малость этой величины:
Рис. 5.
р-р поскольку pF\a\l%<^\, то Д0 экспоненциально мало по сравнению с (х.
Отметим также, что выражение (39,18) не может быть разложено по степеням
малого
§ 40] СВЕРХТЕКУЧИЙ ФЕРМИ-ГАЗ. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА 191
ром уже говорилось в начале параграфа. Величину 2А можно рассматривать
как энергию связи куперовской пары, которую надо затратить для ее
разрыва.
Гамильтониан (39,5) учитывает (как уже было отмечено в § 6)
взаимодействие лишь между парами частиц, находящимися в синглетном s-
состоянии: орбитальный момент относительного движения частиц равен нулю,
а их спины антипараллельны. Обладая равным нулю полным спином, пары ведут
себя как бозевские образования и могут накапливаться в конечном числе на
уровне (своего движения как целого) с наименьшей энергией- уровне с
равным нулю суммарным импульсом. В таком наглядном истолковании это
явление вполне аналогично накапливанию частиц в состоянии с нулевой
энергией (бозе-эйнштей-новской конденсации) в бозе-газе; в данном случае
конденсатом является совокупность спаренных частиц.
