Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
<. .>0 = Sp {w0..
Аналогия этого результата с (12,14) очевидна.
Для перехода к диаграммам теории возмущений, как и в § 13, разлагаем
выражение (38,7) по степеням оператора взаимодействия VQ (т). Для системы
с парным взаимодействием между частицами этот оператор отличается от
(13,2) лишь заменой
гейзенберговских Чг0, 'PJ на мацубаровские WM, ЧГЛ1. Средние значения
произведений ^-операторов снова раскрываются по теореме Вика (т. е. путем
выбора всеми возможными способами попарных сверток операторов);
применимость этой теоремы в макроскопическом пределе доказывается в
данном случае теми же рассуждениями, что и в § 13.
Возникающие, таким образом, правила диаграммной техники вполне аналогичны
правилам, полученным в § 13 для техники при Т = 0. Графическое
изображение диаграмм остается в точности тем же. Несколько меняются лишь
правила аналитического прочтения диаграмм.
В координатном представлении каждой сплошной линии, идущей от точки 2 в
точку 1, сопоставляется множитель -¦^с?р(т1" г1* т2' гг) (со знаком
минус). Каждому пунктиру, соединяющему точки 1 и 2, отвечает множитель--
ra)6(tj-т3).
184
ФУНКЦИИ ГРИНА ПРИ КОНЕЧНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ [ГЛ. IV
По всем переменным т, г внутренних точек диаграммы производится
интегрирование по d3x по всему пространству и по dx-в пределах от 0 до 1
/Т.
Для перехода к импульсному представлению надо разложить все функции $(0)
в виде (37,7). После интегрирования по всем внутренним переменным г в
каждой вершине диаграммы возникает б-функция, выражающая закон сохранения
импульса (2р=0). Кроме того, в каждой вершине возникает интеграл вида
Этот интеграл (с учетом (37.8)) отличен от нуля, только если 2gs = 0,
причем в этом случае равен 1. Таким образом, в каждой вершине соблюдается
также и закон сохранения дискретных частот. Каждой сплошной линии
ставится теперь в соответствие множитель -$ap(?s. Р) (сплошной же линии,
замкнутой на себя, снова отвечает множитель n(0) ([А, Т)-плотность
идеального газа при заданных ц, Т). Каждой пунктирной линии
сопоставляется множитель -U (q). По всем импульсам и частотам, оставшимся
неопределенными (после учета законов сохранения во всех вершинах),
производится интегрирование и суммирование вида
Общий коэффициент, с которым диаграмма входит в -#ар, в случае ферми-
систем равен (-\)L, где L - число замкнутых последовательностей сплошных
линий в диаграмме. В случае же бозе-систем этот коэффициент равен 1.
Разумеется, и в этой технике (как и в технике при Т = 0) можно
производить частичное суммирование и вводить различные диаграммные
"блоки". В частности, можно определить вершинную часть, выражающуюся
через двухчастичную функцию Грина. Эта вершинная часть связана с функцией
$ уравнением Дайсона, аналогичным (15,14). Мы не будем выписывать такие
формулы, вывод которых вполне аналогичен выводу в диаграммной технике при
Т - 0.
При переходе к случаю Т - 0 суммы по s в мацубаровских диаграммах
превращаются в интегралы по ? и мацубаровская техника превращается в
технику, очень напоминающую обычную, изложенную в главе II. Разница,
однако, состоит в том, что при вещественных ? мацубаровские функции
совпадают со значениями GR и GA на соответствующих полуосях мнимой оси
(см. (37,11-12)). Для перехода к обычной технике при Т - 0 надо еще
повернуть контур интегрирования До совпадения с вещественной осью ад.
1/Т
J ехр{-tr (Е,4+ ?*, + ?*,)}dT-
о
ГЛАВА V СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
§ 39. Сверхтекучий ферми-газ. Энергетический спектр
Вся изложенная в главе I теория Ландау относится только к одной категории
ферми-жидкостей-к жидкостям, обладающим энергетическим спектром, не
приводящим к явлению сверхтекучести. Этот тип спектров не является
единственной возможностью для квантовой ферми-жидкости, и мы переходим
теперь к изучению ферми-систем со спектром другого типа. Происхождение
этого типа энергетических спектров и его основные свойства можно наиболее
наглядным образом выяснить на простой модели, допускающей полное
теоретическое исследование - вырожденном почти идеальном ферми-газе с
притяжением между частицами*).
Слабо неидеальный ферми-газ с отталкиванием между частицами был
рассмотрен в § 6. На первый взгляд, произведенные там вычисления в равной
степени справедливы как для случая отталкивания, так и для притяжения
между частицами, т. е. как при положительной, так и при отрицательной
длине рассеяния а. В действительности, однако, в случае притяжения (а <
0) найденное таким образом основное состояние системы оказывается
неустойчивым по отношению к определенной перестройке, меняющей его
характер и понижающей энергию.
Физическая природа этой неустойчивости состоит в стремлении частиц к
"спариванию": образованию связанных состояний парами частиц, находящихся
(в р-пространстве) вблизи ферми-поверхности и обладающих равными по
величине и противоположными по направлению импульсами и антипараллельными
спинами-так называемый эффект Купера (L. N. Cooper, 1957). Замечательно,
