Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
Представлению о связанных парах не следует, конечно, придавать слишком
буквальный смысл. Более точно следует говорить о корреляции между
состояниями пары частиц в р-пространстве, приводящей к конечной
вероятности частицам иметь равную нулю сумму импульсов. Разброс бр
значений импульсов в области корреляции соответствует энергии порядка Д,
т. е. бр ~ AjvP. Соответствующая длина | ~ %/bp ~ %vPjA определяет
порядок величины расстояний между частицами с коррелированными
импульсами. При Т = 0 эта длина (ее называют длиной когерентности)
рядку величины с межатомными расстояниями, то мы видим, что ?0 очень
велико по сравнению с последними. Это обстоятельство в особенности
наглядно демонстрирует условность понятия о связанных парах.
Происхождение эффекта Купера тесно связано с существованием ферми-
поверхности, ограничявающей (в р-пространстве) конечную область
заполненных (при Т = 0) состояний; важное обстоятельство состоит в том,
что энергетическая плотность числа состояний на этой поверхности отлична
от нуля. Эта связь проявляется в формуле (39,19) для величины щели Д0,
обращающейся в нуль при vF-"-0.
§ 40. Сверхтекучий ферми-газ. Термодинамические свойства
Изучение термодинамических свойств сверхтекучего ферми-газа начнем с
вычисления температурной зависимости величины энергетической щели.
Переписав уравнение (39,15) в следующем
192 СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ {гл. V
виде
2 J е (2п%)3 s J е (2я&)3 '
замечаем, что интеграл в его левой стороне отличается от интеграла при Т
= 0 лишь заменой Д0 на А. Поэтому учитывая (39,17),
мы видим, что левая сторона равна 1п ~. В правой стороне
подставляем пр из (39,14) и переходим к интегрированию по dp - dr\/vF:
1л I й(е^+\) 3327(г)' (40,1)
где
/ (Ц) = Г ¦¦¦ -___________
J У x2-f-ua (exp у*2+и2
О
(ввиду быстрой сходимости интеграла пределы интегрирования мог'уТ быть
распространены до ± оо).
В области низких температур (Т <^Д) интеграл вычисляется простох) и
получается
, = A0[l-y^
2пТ,е-ь0/т
(40,2)
В области же вблизи точки перехода А мало, и первые члены разложения
интеграла I (А/Т) дают2)
<40'3)
Отсюда, прежде всего, видно, что А обращается в нуль при температуре
7с = 7Д0/л = 0,57Д0, (40,4)
1) При больших и первый член разложения I (и) по 1/и:
_Я \1/2
2 и
о
а) Для разложения интеграла I (и) при и -*- 0 прибавляем и вычитаем из
него интеграл
§ 40] СВЕРХТЕКУЧИЙ ФЕРМИ-ГАЗ. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА 193
малой по сравнению с температурой вырождения 7^,) - fx. После этого в
первом порядке по Тс - Т получим
i/a
Д = 7\
8л2 (J _ Т
7С(3) V Т(
= 3,06Г,|/1-?~. (40,5)
Нам осталось вычислить термодинамические величины газа. Рассмотрим
сначала область низких температур.
Для вычисления теплоемкости в этой области проще всего исходить из
формулы
б? = 2е(блр+ +6лр_)=22 ебяр р р для изменения полной энергии при
варьировании чисел заполнения квазичастиц. Разделив на 8Т и перейдя от
суммирования к интегрированию, получим теплоемкость:
C = V
Щ- X е - dr\. яФ J дТ '
При Т А функция распределения квазйчастиц п да е~в/т, а их энергия е да
А0 + г]2/2Л0; простое интегрирование приводит
Тогда / = /i + /2, где
, dx,
У х* + и2
В /i первый член в подынтегральном выражении интегрируется элементарно, а
второй интегрируем по частям и находим
ОО
07 1 И I 1 Г In* J
21!- 1л 2 -f 2 J ch2 (х/2) о
Стоящий здесь интеграл равен 2 In (я/2у) (где 1п7 = С = 0,577 -
постоянная Эйлера), так что 2/i = ln (п/уи).
Интеграл /2 обращается в нуль при и = 0. Первый член его разложения по
ыа: .
, u*}dx(l,,x\l
/2=-TiTUthTj'
О
Подставляя сюда разложение
СО
[яа(2/г + 1)а+дг2]-*
л = О
(его вывод см. в примечании на стр. 205) получим
7С(3)
п=0О л=0
212-4 J [(2л+])8я2+д.2]а-яа^,(2" + [)"3 "
194
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
[гл. V
к результату:
У 2mp[.A6J'z
C=vis4k^-e'о/• (40'6)
Таким образом, при Т ->-0 теплоемкость убывает по экспоненциальному
закону - прямое следствие наличия щели в энергетическом спектре.
Для дальнейших вычислений удобно исходить из термодинамического
потенциала й, поскольку все рассмотрение ведется нами при заданном
химическом потенциале системы (а не числа частиц в ней)г). Воспользуемся
формулой
(?),,"-$>. '"л
где К - какой-либо параметр, характеризующий систему (ср. V
(11,4), (15,11)); в данном случае в качестве такого параметра выберем
константу связи g, фигурирующую во втором члене гамильтониана (39,8).
Среднее значение этого члена дается последним слагаемым в формуле
(39,10), равном, согласно (39,12),
- VA2/g cvj g. Поэтому имеем
dQ _ VA2
dg ~~ g*
При g¦->-0 энергетическая щель А стремится к нулю. Поэтому,
интегрируя это равенство по dg в пределах от 0 до g,
найдем
разность между термодинамическим потенциалом ?2 в сверхтекучем состоянии
и значением, которое он имел бы в нормальном состоянии (Л = 0) при той же
температуре2):
Q,-Q n = -V^dg. (40,8)
о
Согласно общей теореме о малых добавках (см. V (24,16)), поправка (40,8),
будучи выражена в соответствующих переменных, одинакова для всех
