Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
продолжительность жизни квазичастиц связана не только с их собственной
неустойчивостью, но и с их столкновениями друг с другом. Затухание от
обоих этих источников должно быть слабым для того, чтобы понятие о
квазичастицах продолжало иметь смысл.
§ 37. Температурные функции Грина
Для построения диаграммной техники вычисления гриновской функции при
конечных температурах надо было бы перейти от гейзенберговского
представления ^-операторов к представлению
(36,23)
178
ФУНКЦИИ ГРИНА ПРИ КОНЕЧНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ [ГЛ. IV
взаимодействия, как это было сделано в § 12. При этом мы снова пришли бы
к выражению, отличающемуся от (12,12) лишь тем, что усреднение
производится не по основному состоянию. Это отличие, однако, очень
существенно: усреднение оператора 5-1 уже не может быть отделено от
усреднения остальных множителей, как это было сделано при переходе от
(12,12) к (12,14); дело в том, что неосновное состояние под влиянием
оператора S~1 переводится не само в себя, а в некоторую суперпозицию
возбужденных состояний с той же энергией (включающую в себя результаты
всевозможных процессов взаимного рассеяния квазичастиц). Это
обстоятельство приводит к существенному усложнению диаграммной техники -
возникают новые члены от свертываний, в которых участвуют также и
г|>операторы из 5"1.
Можно, однако, изменить определение гриновской функции таким образом,
чтобы подобных усложнений не возникало. Основанный на этом определении
математический аппарат, разработанный Мацубарой (Т.Matsubara, 1955), в
особенности целесообразен для вычисления термодинамических величин
макроскопической системы.
Введем так называемые мацубаровские г|>операторы, согласно определению
х),
Т"(т, г) = ет/?>а(г)е-тй',
(т, г) = ет"'^(г)е_т/?',
где т-вспомогательная вещественная переменная; эти операторы отличаются,
с формальной точки зрения, от гейзенберговских операторов заменой в
последних вещественной переменной t
мнимой величиной -?т2). Такой же заменой (?-?+ ->Ч(tm)1, id/dt->-д/дт),
например в (7,8), получаются уравнения, которым удовлетворяют операторы
(37,1). С помощью этих операторов новая функция Грина ? определяется
аналогично тому, как обычная гриновская функция G определяется через
гейзенберговские г^-операторы:
IV, т2, г2) = - <Тт?^ (tu r2)>, (37,2)
где символ Тх означает "т-хронологизацию"- расположение опе-
J) В этом параграфе мы будем писать формулы одновременно для ферми-систем
и бозе-систем (выше Я-точки). При разнице в знаках ферми-системам будут
отвечать верхние, и бозе-системам - нижние знаки.'Кроме того, для бозе-
систем следует опустить спиновые индексы
2) Подчеркнем, что в виду этого отличия оператор 4м отнюдь не совпадает с
1РЛ1+"
§ 37] ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ФУНКЦИИ ГРИНА 179
раторов в порядке увеличения т справа налево (с изменением знака при
перестановке операторов в случае ферми-систем); скобки же <.. .> означают
усреднение по распределению Гиббса. Последнее можно представить в явном
виде, записав определение (37,2) как
= - Sp К, г,) (т2, г,)}, w = ехр (-^^) , (37,3)
где Sp означает сумму всех диагональных матричных элементов. Определенную
таким образом гриновскую функцию называют температурной в отличие от
"обычной" функции G (которую называют в этой связи временной).
Как и GaP, функция для неферромагнитной системы в отсутствие внешнего
магнитного поля сводится к скаляру: ?ap = i/6ap. Для пространственно-
однородной системы ее зависимость от rf и г2 снова сводится к зависимости
от разности r = ri-г2.
Легко также видеть, что уже по самому определению (37,3) функция ?
зависит только от разности т = т1-т2. Пусть, например, тх < т2; тогда
имеем1)
? = + THT-e^Sp {е-н'/ТеХ2Я'у>а (r2) е(-Т2 + т'> (r1)e-Ti^'}
или, произведя под знаком Sp циклическую перестановку множителей:
3 = ± щ ea/rSp {е~(1/г + т)Я<^(г2) етЯ'фа (rj}, т < 0, (37,4)
откуда и очевидно сделанное утверждение.
Переменная т будет фактически пробегать значения лишь в конечном
интервале
-1/Г<т< ЦТ. (37,5)
При этом значения функции ? (т) при т < 0 и т > 0 связаны друг с другом
простым соотношением. При t = T!-т2 > 0, аналогично выводу (37,4),
находим
3 = -eQIT Sp {е~ (i''7'" т) (rj (r2)} =
= -(5f еШ Sp <e" (Га) e"<1/Г" T) (ri)} ' т > °>
!) Заключенный в скобки множитель 2 относится к ферми-системам, а для
бозе-систем должен быть заменен единицей.
180 ФУНКЦИИ ГРИНА ПРИ КОНЕЧНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ [ГЛ. IV
а сравнив это выражение с (37,4), получим
3(т) = Ч="(т+-1-), т < 0 (37,6)
(ввиду (37,5) аргумент функции справа при т < 0 положителен).
Разложим теперь функцию ?(т, г) в интеграл Фурье по координатам и в ряд
Фурье по т (на интервале (37,5)) *):
*(т,г) = Т ? )**, (37,7)
S = - со ' '
причем для ферми-систем
?, = (2s + l)jt7\ (37,8а)
а для бозе-систем
lt = 2saT (37,86)
(s = 0, ±1, ±2, ...); при этом автоматически выполняется условие (37,6).
Обратное к (37,7) преобразование имеет вид
1/Т
"(?,. Р) = J Se-l'(pr-^r)^(T, r)d3xdx (37,9)
о
(интеграл по области -1/Т^.т^.1/Т преобразован в интеграл от О.до 1/71 с
