Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
что этот эффект возникает в ферми-газе уже при сколь угодно слабом
притяжении между частицами.
Именно в силу этого эффекта использованная в задаче о ферми-газе с
отталкиванием система операторов ара, ара., соответствующих свободным
состояниям отдельных частиц газа, не может
-1) Эта задача лежит в основе теории сверхпроводимости, построенной
Бардином, Купером и Шриффером (У. Bardeen, L. N. Cooper, J. R.
Schrieffer,
(1957). Излагаемый ниже метод решения принадлежит Н. Н. Боголюбову
(1958).
186
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
[гл. V
служить теперь правильным исходным приближением теории возмущений1).
Вместо них надо уже сразу ввести новые операторы, которые будем искать в
виде линейных комбинаций
объединяющих операторы частиц с противоположными импульсами и спинами
(индексы + и _ относятся к двум значениям проекции спина); в силу
изотропии газа коэффициенты ир, vp могут зависеть только от абсолютной
величины импульса р. Для того чтобы эти новые операторы отвечали рождению
и уничтожению квазичастиц, они должны удовлетворять таким же правилам
коммутации Ферми, как и старые операторы:
а все другие пары операторов антикоммутативны (индекс а нумерует два
значения проекции спина). Для этого коэффициенты преобразования должны
удовлетворять условию
(ир, vp могут быть сделаны вещественными надлежащим выбором фазового
множителя). При этом обратное (по отношению к (39,1)) преобразование
имеет вид
По тем же причинам (основной роли взаимодействия между парами частиц с
противоположными импульсами и спинами) мы сохраним в гамильтониане (6,7)
во второй сумме лишь члены, в которых р! = -Р2 = Р, Pi' = -р2' = р':
сеяния а < 0).
В дальнейших вычислениях будет удобно снова воспользоваться обычным
приемом, позволяющим избавиться от необходи-
*) Указание на неприменимость теории возмущений (в использованной в § 6
форме) к парам частиц с проекциями спинов ±1/2 и с импульсами р2 ~-Pi
дает уже наличие особенности при Ф = л;, которой обладает полученное с
помощью этой теории выражение функции взаимодействия квазичастиц (6,16);
эта особенность существует только при антипараллельных спинах, которым
отвечает равное -1 собственное значение оператора a^ov
bp_ =Updp-+Vpa±pf +, Ьр + =Up(Xp+ VpCL-pt
(39,1)
(39,2)
u\ + v\= 1
(39,3)
ap+ =Upbp++vpb±p, ap_ =upbp.- vpb-p, +.
(39,4)
p'+a-p'<-a-p.-ap+• (39,5)
pa
где снова введена "константа связи" g = 4л&21 а \/т (длина рас-
§ 39] СВЕРХТЕКУЧИЙ ФЕРМИ-ГАЗ. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР 187
мости явным образом учитывать постоянство числа частиц в системе: в
качестве нового гамильтониана вводится разность Н' = Н - где
N - 2 йрдйр(х ра
- оператор числа частиц; химический потенциал определяется затем, в
принципе, условием равенства среднего значения N заданному числу
частиц в системе.
Введем также обозначение
Ъ = <39'6)
Поскольку [д." pf/2m, то вблизи поверхности Ферми
4p = Vf(P-Pf)> (39,7)
где vF-pFlm. Вычитая (хА^ из выражения (39,5), напишем, таким образом,
исходный гамильтониан в виде
Н = Цр(1райра рг Gp'+G-p'.-G-p,-йр+. (39,8)
Р" РР'
Произведем в этом гамильтониане преобразование (39,4). Используя
соотношения (39,2-3) и возможность замены индекса суммирования р на -р,
получим
Н' = 2 ? r\pv2p + ? цр (и2р-v2p) (5р++Ьр + + bpJp..) +
Р Р
+ 2 у1, ЦрИрУр (bp+bt.р> _ + Ь_р,_ Ьр+) - Вр'Вр, (39,9) р рр'
Bp = ulb-pi.bp+-vlbp+btp, _ + i>рир (b-p^btр, Ьр++?>р+).
Выбор коэффициентов ир, vp осуществим теперь из условия минимальности
энергии Е системы при заданной энтропии. Последняя определяется
комбинаторным выражением
*S = 2 1/2ра 1п Пра (1 ^ра) In (1 ^ра)]-
ра
Поэтому указанное условие эквивалентно минимизации энергии при заданных
числах заполнения квазичастиц пра.
В гамильтониане (39,9) диагональные матричные элементы имеют лишь члены,
содержащие произведения
188 СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
Поэтому находим
Е- 2 ? f\pv\ + ? r\p (u2p~vl) (пр+ + пр_) -
- пР+- пР.)
[ГЛ. V
X
V
(39,10)
Варьируя это выражение по параметрам ир (учитывая при этом связь (39,3)),
получим в качестве условия минимума
2 ч Го "
2t\pupvp-
6 и
(1- "р+ - Пр_)
(Ир - Ур) ? w(l-^"р'+ - V-)
0.
Отсюда находим уравнение
211/)"/)и/) = Д("2-и2р),
где А обозначает сумму:
V ¦ ?"/",(! - пр+- np_).
(39.11)
(39.12)
Из (39,11) и (39,3) выражаем ир, vp через ч\р и А:
Ър
2 I 1 ^ -
UP 1 = 1/ 1
/ла +
(39,13)
Подставив же эти значения в (39,12), получим уравнение, определяющее А:
8 v ,-"р+-пр
1.
2V р УДНЧр
В равновесии числа заполнения квазичастиц не зависят от направления спина
и даются формулой распределения Ферми
(с равным нулю химическим потенциалом-ср. примечание на
стр. 18):
пр+ =пр_ =пр =[еЕ/г +1]-1. (39,14)
Перейдя также от суммирования к интегрированию по р-про-странству,
запишем это уравнение в виде
d3p
1. (39,15)
2 ' ---------------
Обратимся к исследованию полученных соотношений. Мы увидим, что величина
А играет основную роль в теории сце-
8 Г 1-2в" ____________
J У Д2+Лр (2яЙ)3
§ 39] СВЕРХТЕКУЧИЙ ФЕРМИ-ГАЗ. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР
