Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
плотностью конденсата.
Подчеркнем, однако, принципиальное отличие от пренебрежений, которые
делались в случае слабо неидеального бозе-газа. В последнем почти все
частицы находятся при Т - 0 в конденсате, а число надконденсатных частиц,
появляющихся только в результате слабого взаимодействия частиц,
относительно мало. В данном же случае, напротив, сам конденсат появляется
в результате слабого взаимодействия -и потому включает -в себя лишь малую
долю частиц. Другими словами, отбрасываемые при замене (41,11) члены не
малы, а велики по сравнению с оставленными. Последние, однако, приводят к
качественно новому эффекту - изменению характера спектра, в то время как
первые были бы нужны лишь для вычисления не интересующей нас здесь
поправки к основному уровню системы (ср. в этой связи примечание на стр.
194).
После-замены (41,11) уравнение (41,10) сводится к виду
+ Ш + G W + ?EF+ W = б(4) (X) (41,12)
(аргумент функции X-X' заменен на X, а постоянная iF (0) обозначена через
S - в соответствии с определением (41,7)). Сюда входят две неизвестные
функции G (X) и F+ (X), поэтому для их вычисления необходимо еще одно
уравнение.
Его можно получить, вычисляя производную
. dF^(X~X') _/д/_|_2 т -^ (*')|лг);
член с б-функцией (подобный второму члену в (9,5)) здесь не возникает,
поскольку функция F^(X-X') (в противоположность функции Ga$(X- X'))
непрерывна при t = t'1). Подставив сюда (41,9) и снова произведя
выделение конденсатного члена, аналогичное (41,11), получим в результате
уравнение
{i§--'?i-v)F+{X) + g2tG(X) = 0. (41,13)
В него входят те же две функции G и F+, что и в (41,12); поэтому эти два
уравнения достаточны для вычисления этих функций (для вычисления же F
надо было бы вывести аналогичным образом еще одно уравнение).
J) В этом легко убедиться, вычисляя скачок функции Fjp подобно тому, как
это делалось в § 9 для Gap, и заметив, что операторы (*,г) и г')
антикоммутативны.
§ 41] ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ СВЕРХТЕКУЧЕГО ФЕРМИ-ГАЗА
201
Перейдем в этих уравнениях к импульсному представлению, введя обычным
образом фурье-компоненты G(P) и F+(Р):
(u-i]P)G(P) + gEF+(P) = l, .....
(co + rgf+(P) + gE*G(P) = 0, ^ ;
где Р = (ю, р) и г|р = р2/2/п - [г. Отметим, что ввиду четности функции
F+ (X), четны также и ее фурье-компоненты F+ (Р) = = F+(-P).
Исключив из двух уравнений функцию F+, найдем для G уравнение
(со2-y\l - A2) G (Я) = со + (41,15)
где введено обозначение
A = g[E|. (41,16)
Формальное решение уравнения (41,15):
_ ^ со2-е2 (р) со - е(р) 1 со 8 (р)
где г(р) =]/А2 + г|р, а ир к vp даются формулами (39,13). Уже отсюда
видно, что спектр элементарных возбуждений, определяемый положительным
полюсом функции Грина, дается функцией е(р)-мы снова приходим к
результату (39,20). Мы видим также, что энергетическая щель А и модуль
конденсатной волновой функции движения пар как целого оказываются
пропорциональными друг другу величинами.
Выражение (41,17) для G(P), однако, еще неполно: в нем не определен
способ обхода полюсов. Другими словами, остается еще неопределенной
мнимая часть функции G; эта часть содержит 6-функцию 6(со±е) и потому
выпадает при умножении на со2 - е2 в уравнении (41,15).
При Т - 0 правило обхода полюсов устанавливается прямым сравнением
выражения (41,17) с разложением (8,7): в членах с положительными и
отрицательными полюсами переменную надо заменить соответственно на co +
iO и со-Ю; тогда (41,17) примет вид
Г( У Up ¦ Ур______________(0 + Г1я_____ ...
PJ ш - е (p) + t0"'_"B + 8 (р)-г'О - ("в - e-j-t'O) (ш + е-Ю) * ' '
*
Выражая теперь F+ из второго из уравнений (41,14), находим
F+ ((c), р) = - е + fо/(ш + е-Ю) • 141,19)
202
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
1гл. V
С другой стороны, имеем, по определению,
СО
iE* s F+ (X = 0) = j j F+ (P) ^. (41,20)
- 00
Подставим сюда (41,19); интегрирование no dco осуществляется путем
замыкания контура бесконечно удаленной- полуокружностью в верхней
полуплоскости, после чего интеграл выражается через вычет в полюсе со =
е. В результате, после сокращения на Е*, получим равенство (39,16),
определяющее Д0.
При Тф 0 нахождение мнимой части гриновских функций несколько сложнее.
Для построения функции G (со, р) с правильными аналитическими свойствами
по переменной со напишем сначала запаздывающую функцию GR(&, р); она
должна быть аналитична в верхней полуплоскости и потому получается из
(41,17) заменой со-*-co-fiO. Мнимая часть этой функции:
lm GR = - jt [Мрб (со - е) + t/рб (со + е)].
Мнимая же часть искомой функции G находится отсюда с помощью формулы
(36,14), согласно которой
Im G (со, р) = th ^ Im GR (со, р) =
= - (1- 2/гр)я[м^б (со - е)-Vp8 (со + е)],
где пр - фермиевская функция распределения (39,14) (использовав эту
формулу, мы тем самым осуществляем переход от усреднения по заданному
стационарному состоянию системы к усреднению по распределению Гиббса).
Функцию G с этой мнимой частью можно записать в виде
G (со, р) = M_igPr-Q + + 2mnP [и*б (со-е)-v2p8 (со + в)].
