Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
учетом (37,6) и (37,8)).
Вычисления, аналогичные произведенным в § 36, позволяют выразить р)
через матричные элементы шредингеровских
¦ф-операторов. Они приводят к результату
"(?,, P) = lf Z ±е_"тп/Г)- (37,10)
\ и - (c)ли
т, п
Отсюда видно прежде всего, что
*(-?" Р) = "•(?" Р)- (37,11)
Далее, сравнив (37,10) с разложениями (36,6) и (36,20) для GR, найдем,
что
"(?" P) = G*(f?" р), ?,>0. (37,12)
Условие > 0 связано с тем, что выражения (36,6) и (36,20) справедливы
непосредственно лишь в верхней полуплоскости со, как это объяснено на
стр. 174. Таким образом, в компонентах Фурье температурная функция Грина
совпадает с запаздывающей функцией Грина, взятой в дискретных точках
мнимой оси со.
х) Введение этого приема принадлежит А. А. Абрикосову, Л. П. Горькову, И.
Е. Дзялошинскому (1959) и Е. С. Фрадкину (1959).
ДИАГРАММЫ ДЛЯ ТЕМПЕРАТУРНЫХ ФУНКЦИЙ ГРИНА
181
Этот результат позволяет, в частности, сразу написать выражение для
температурной функции Грина идеального газа: заменой и-f-tTj находим из
(36,17)
S(°'(^ р) = [^--+ (37,13)
В следующем параграфе будет изложена диаграммная техника для вычисления
функции $(?^, р). Для определения же функции G^(<a, р) (и тем самым, в
частности, для определения энергетического спектра системы) надо
построить аналитическую функцию, совпадающую с р) в точках o) = t?* и не
имеющую особенностей в верхней полуплоскости со. Эта процедура
однозначна, если добавить требование G^((c), р)-*-0 при |ю|-юо (см.
(36,11)). Тем не менее в конкретных случаях такое аналитическое
продолжение может быть сопряжено с определенными трудностями. Но для
вычисления термодинамических величин его производить не надо.
Так, для вычисления потенциала Q можно исходить из выражения усредненной
по распределению Гиббса матрицы плотности
^Pep(rlt г2) = ±^ар(т1, iy, Ti + 0, r2) (37,14)
(очевидного из определения (37,2); ср. (7,17)). Положив г2 = г1 (и
просуммировав по а = Р), получим для плотности системы
. (37,15)
S = - 00 '
Это выражение определяет N как функцию (д,, Т, V, после чего Q ((л, Т, V)
вычисляется интегрированием равенства N = -
§ 38. Диаграммная техника для температурных функций Грина
Диаграммная техника для вычисления температурной функции Грина % строится
подобно тому, как это делалось в §§ 12, 13 для временной функции G. Тот
факт, что определение мацуба-ровских ^-операторов (37,1) отличается от
определения гейзенберговских операторов лишь формальной заменой it-и,
позволяет во многом воспользоваться прямой аналогией.
Прежде всего вводим мацубаровские операторы в "представлении
взаимодействия", отличающиеся от (37,1) заменой точного гамильтониана Н'
на гамильтониан свободных частиц Щ\
Фоа(т, г) = ехр (тЯ'о) 1ра(г)ехр(-хН'0). (38,1)
Связь между операторами Фо<* и Wa осуществляется мацуба-
182 ФУНКЦИИ ГРИНА ПРИ КОНЕЧНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ [ГЛ. IV
ровской 5-матрицей, построенной аналогично (12,8):
о (т2, т,) = Ттехр (- [ V0 (т) dr] , (38,2)
где
(т) = ехр (тН'ъ) Vexp (- xHr0) (38,3)
- оператор взаимодействия в том же представлении. Но в то время как в
§ 12 связь между f и I, устанавливалась при начальном условии "включения"
взаимодейсгвия при t = - оо, теперь роль "начального" условия должно
играть совпадение ?Л1 и при т = 0. Соответственно вместо (12,11) пишем
^(т) = 5-Чт, О)?оВД0(т, 0). (38,4)
Подставим это выражение в определение функции Грина
(37,3); положив, для определенности, т1>т2, имеем
(^и "О =
= -Sp О)(c)"1^, 0)?с^ (т2)а(т2, 0)}
(аргументы l^, г2 для краткости не выписываем). Заметив, что при > т2 >
т3
"(tj, т3) = а(т1, т2) а (т2, т3), а(т2, а-1 (т3, т1) = а(т2, т3),
переписываем в виде К, "^г) =
=-Spjtwa-1 о) ^ЧМо^.О) }•
Множители в квадратных скобках уже расположены в порядке возрастания
справа налево. Поэтому можно написать
SapK, *2) = - Sp (т2)а]}, (38,5)
где
о = а (ф, 0).
Легко проверить, что в таком виде это выражение остается справедливым и
при Ti < т2.
В отличие от (12,12), в (38,5) содержится лишний (гиббсовский) множитель,
и, кроме того, усреднение производится еще по состояниям системы
взаимодействующих частиц. Покажем, что оба-эти отличия "взаимно
погашаются", в результате чего
§ 38]
ДИАГРАММЫ ДЛЯ ТЕМПЕРАТУРНЫХ ФУНКЦИЙ ГРИНА
183
восстанавливается полная аналогия с (12,14). Для Этого воспользуемся
формулой
е-^' = е-хй'оа(х, 0), (38,6)
которая получается путем подстановки (38,1) в (38,4) и
последующим сравнением получившегося выражения с определением
ФЛ1 согласно (37,1). С ее помощью заменяем в (38,5)
е-й7га-1 (J-, о) = е"й°/г.
Множитель же eQ/T выносим из-под знака Sp, перенеся его из числителя в
знаменатель и представив в виде
е~9-1т = Sp e~H'lT = Spe~^^T о (^~, о).
Наконец, умножив числитель и знаменатель на ехр(й0/Г) (где Q0-
термодинамический потенциал идеального газа при тех же значениях |х, Т,
V), получим окончательно
S"p (Tlf та) =--1- < (tJ Щ (та) <х>0, (38,7)
<СГ> о
где усреднение производится по состояниям системы невзаимодействующих
частиц:
