Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
своим полюсным членом, так что
Отсюда, на самой этой поверхности,
3G-1 1 3G_1 vpdpp
др0 Z ' дц Z d\n '
•В результате, например, тождества (19,9) и (19,13) принимают
на ферми-поверхности вид
§ 20. Вывод связи между предельным импульсом и плотностью
Полученные в предыдущих параграфах соотношения позволяют дать
последовательное доказательство основного положения теории ферми-жидкости
Ландау: утверждения о том, что связь между предельным импульсом pF и
плотностью жидкости N/V дается той же формулой (1,1), что и для
идеального газа.
Идея доказательства состоит в независимом вычислении изменений N и pF при
бесконечно малом изменении химического потенциала ц и затем их сравнении.
Согласно (7,24), полное число частиц (в заданном объеме V) как функция
химического потенциала дается интегралом
Ввиду сходимости этого интеграла при больших р0 (dG/dii оо cn3 1/Ро2 при
[рв| -> оо) писать множитель в подынтегральном выражении уже не надо.
После подстановки сюда dG/d\i из тождества (19,13) (просуммированного по
а = |3) находим
fjrft. a6(PF, Q){G2(Q)}co-03 =
iJr&e.ee(Pf>Q){G4Q)}*|?=(l
(l-j)safJ, .(19,16)
Отсюда производная
(20,2)
dtPdtQ k (2n)8 '
§ 20] СВЯЗЬ МЕЖДУ ПРЕДЕЛЬНЫМ ИМПУЛЬСОМ И плотностью
99
где для краткости Г = Га7,а?. Цель дальнейшего вычисления состоит в том,
чтобы выразить правую часть этого равенства через интеграл только по
ферми-поверхности.
Прежде всего подставим вместо Г* во втором интеграле выражение из (17,17)
(заменив в нем обозначение QF на SF):
Преобразуем сначала последний член. В его подынтегральном выражении от Q
зависят только последние два множителя; интеграл от них по dlQ
определяется (на ферми-поверхности, S = SF) формулой (19,17), так что
этот член принимает вид
Далее, вспомним, что при интегрировании по d4P предельные значения
G(P)G(P-\-K) надо понймать в смысле (17,10); поэ-
тому {G2 (^)}<j> = Ф (Р), а
{G2 (P)\k = {G2 (Р)}а-2-^ б (р0) б (р-рР). (20,4)
где, согласно (18,4), введена функция взаимодействия квазичастиц и
использовано выражение а| через функцию F (Ф) согласно (2,6 - 7); черта
над F означает интегрирование по do/4n. Оставшийся интеграл по d*P дается
формулой (19,16), после чего интегрирование по dos дает еще множитель 4л.
В результате третий член в (20,3) оказывается равным
Аналогичным образом преобразуется второй член в (20,3): величины {G2{P)\k
и {G2(Q)}ft выражаются через {G2(/5)}ll> и {G2(Q)}M согласно (20,4),
после чего используются тождества
(19,9) и (19,16). В результате этот член оказывается равным
vw = 2i I{G2 {P)U+1{G2 {P)h r"{P' Q) {G2 (Q)}
dlP dlQ k (2jt)8
1^^{{G2 (/>)}* Г%,аи(/\ SF)r*v.tv(Sf> Q) {G2 (Q)}
d4P dlQ dos k (2jt)8
(20,3)
После этой замены получим
d^dos
(2я)4
){l_l+f}. (20,5)
• W + W Hi- 0-?}'
(20,6)
100 ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ФЕРМИ-СНСТЕМЫ ПРИ Г = 0 [гл. и
Первый интеграл обращается в нуль при интегрировании по dp0, поскольку G-
> 0 при р0->-±оо.
Наконец, первый член в (20,3) после подстановки в него
(20,4) дает
+ (20,7)
Сложив теперь все вклады (20,5 - 7), найдем
(20,8)
С другой стороны, производная
= ( dN \ Ур2р dpF~\dN)v\dpF)v~ 6N *
согласно (2,15), равна
|^ = М1 + П- ' (20,9)
Подчеркнем, что при выводе (2,15) еще не использовалась конкретная
зависимость рр от N/V, и поэтому мы имеем право применить здесь это
соотношение с целью нахождения указанной зависимости (равенство (20,9)
можно, конечно, поручить и с помощью тех же соотношений для вершинных
функций, которые были использованы при выводе (20,8)) *).
С учетом этого равенства мы видим, что фигурная скобка
в (20,8) обращается в нуль и, таким образом,
d N pf dpp d
d\i V 2ix2 d|x d\i
з
8 npp 3 (2я)!
-] • (20,10)
При N/V-i-0 мы имеем дело с газом, так что в этом пределе зависимость рр
от N/V во всяком случае должна совпадать с газовой. 3jhm условием
устанавливается постоянная при интегрировании (20,10), и мы приходим,
наконец, к искомому соотношению (1,1):
N 8я рр
~~ 3 (2я)3 *
х) Формула же (2,11) для эффективной массы может быть выведена с помощью
соотношения (17,17) и тождеств (19,11) и (19,15).
ПОЧТИ ИДЕАЛЬНЫЙ ФЕРМИ-ГАЗ
101
§21. Гриновская функция почти идеального ферми-газа
Для иллюстрации способа применения диаграммной техники в этом параграфе
мы применим ее к вычислению гриновской функции почти идеального ферми-
газа в рамках той же модели, которая была рассмотрена в § 6 с помощью
обычной теории возмущений (В. М. Галицкий, 1958). Напомним, что речь идет
о газе с отталкиванием между частицами, причем описанный в § 6 прием
позволяет применять к этому взаимодействию теорию возмущений до тех пор,
пока в окончательный результат вычисления входит только амплитуда
рассеяния.
Как было показано в § 14, нахождение функции Грина сводится к вычислению
собственно~энергетической функции 2а$(Р). В первом и втором приближениях
теории возмущений она дается совокупностью диаграмм (14,9) и (14,10).
Изобразим их здесь следующим образом:
Диаграммы (21,1а-б) охватывают собой диаграммы первого порядка (14,10а) и
