Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лифшиц Е.М. -> "Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния " -> 37

Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.

Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния — Москва, 2000. — 449 c.
Скачать (прямая ссылка): statisticheskayafizika2000.pdf
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 172 >> Следующая

(14,9а) и диаграммы второго порядка (14,106-в) и (14,96-в); последние
отличаются от первых лишь поправками к внутренней сплошной линии; эти
линии изображены в (21,1а-б) жирными и им должны сопоставляться,
следовательно, не гриновские функции идеального газа G(0), а функции G,
исправленные до членов первого порядка. Наконец, (21,1 в-г) - это
диаграммы второго порядка (14,Юг-д). Все диаграмы деформированы так, что
становится ясным характер их структуры; это - первые члены "лестничного"
ряда четырехконцевых диаграмм, в которых по паре из внешних линий
"закорочены" друг с другом двумя различными способами.
Начнем с вычисления диаграммы (21,1а). Ее аналитическое выражение
р-а
(r)-е =
Я?
Р
+'
¦Р Р
(21,1)
+
Р
р
Р
[-tS (P)]s = J f/(Q) О (P-Q)^4, Q=(<7o. q), p = (w, р)
102
ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ПРИ Т = 0 [гл. II
(общий множитель 8ар опущен). Произведем сначала интегрирование по dq0.
Поскольку, однако, множитель U (Q)=U (q) от q0 не зависит, a Gcol/q0 при
|д0|->- оо, то необходимо предварительно уточнить способ интегрирования.
Для этого надо вернуться к происхождению диаграммы (21,1а) и заметить,
что сплошная линия в ней соответствует свертке пары ^-операторов внутри
одного и того же оператора V. Это значит, что f и f+ берутся в одинаковый
момент времени, и при свертывании *Р+ стоит слева от Ч*. Другими словами,
в координатном представлении возникающая G-функция берется при t = ti-12-
>-0. В импульсном же представлении это означает добавление в
подынтегральном выражении в (21,2) множителя exp (- iqQt) с переходом к
пределу t ->--0. Использовав теперь формулу (7,20), получим
[- г'2]а = i j U (q) N (p-q) , (21,3)
где N (p)-функция распределения частиц.
Фурье-компонента U (q) существенно зависит от величины q лишь при q^l/r0,
где г0-радиус действия поля ?/(г); эти значения заведомо велики (для
разреженного газа) по сравнению с рР. Если ограничиться значениями |р-
pf|<^l/r0, то при указанных значениях q будет N (р-q) " 0. Поэтому U (q)
в (21,3) можно заменить на U (0) и вынести из-под знака интеграла1).
Оставшийся интеграл равен половине (заданное значение проекции спина!)
плотности газа п (ц), так что [S]a = -п (fi) U (0) /2.
Диаграмма же (21,16) с замкнутой на себя сплошной линией дает [2]6 = п
(ц) U (0). Таким образом, вклад в 2 от обоих диаграмм есть
Иа, e = -jп(ц)?/(°) = Ц-п(ц)а, (21,4)
где а-длина рассеяния, определенная согласно (6,2).
Выражение (21,4) содержит в себе, в частности, весь эффект первого
порядка. В этом приближении n(fi) надо понимать как плотность идеального
газа и(0) (ц), так что
(21,5)
Для дальнейшего вычисления введем, в качестве промежуточного обозначения,
функцию F, определенную лестничными
*) Допускаемая таким образом погрешность имеет, как легко видеть,
относительный порядок величины - (Яр/о) и потому не отражается даже на
членах следующего по ррг^ порядка.
§ 21] ПОЧТИ ИДЕАЛЬНЫЙ ФЕРМИ-ГАЗ 103
диаграммами:
р*г*---= *-•------------------ + *"Г "Г~ (21,6)
P4S --V-Л-----P2J3 1-----ч--- --V ч -
(как всегда, PlJrP2 = P3JrPi). В аналитическом виде
iFyo, ар (Р" р" р" Р.) = MaySP6 (F'l> + F'2>), (21,7)
где
lT(i> = _i(/(p3_pi)> ^ (21,8) if'*> = JG<"> (P') {/ (Px-P') G<0) (P, + P-
P') U(P'-P3) ~. (21,9)
Раскрыв обе диаграммы (21,1 в - г) и выразив их через F(а), получим
[-/2(P)]B,r = -jG'°>(Q)/(tm)(P, Q; Q,P)-^ +
+ 2 JG(">(Q)^(P, Q; p. <3)-Цг (21Д0)
(такие же интегралы с Z7'1' вместо Fi2) дают (21,5)). Разница знаков
перед двумя интегралами связана с наличием замкнутой петли в диаграмме
(21,1г); 6-множители в первой диаграмме дают ^ 5<хр, а во второй. 2бар.
Перейдем к вычислению F&). Поскольку U (Q) не зависит от qQ, то
интегрирование по dp'0 сводится к интегралу
J G(0) (Р') G(0) (Pj + Pa- Р') •
- ж
Подставив сюда G<0) из (9,9) (и учитывая сходимость интеграла при | р'01-
>-°о), замыкаем путь интегрирования бесконечно удаленной полуокружностью
в одной из полуплоскостей комплексного интеграл отличен от нуля, лишь
если полюсы двух функций G(0) лежат в различных полуплоскостях, т. е.
sign (р'-/?/?) = sign (| pi + pj-р' |-pf). (21,11)
В результате получим
№(Р" р4; Pi, р2) =
= Г____________у (pi - Р') у (р' - Рз) sign (Р' - Pf)_-^-(21 12)
J Wi-f ш3 + 2/i--2^- [р'2-f (Pi +p2 -P')2] + *0• sign (p'-pF) (2л)3
(где (ог==/?10, to2s=p20). При этом, чтобы автоматически учесть
требование (21,11), в числителе подынтегрального выражения
104
ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ПРИ Т = 0
[гл. II
следует заменить
sign (р' - Рр) ->¦ 1 -6 (р')-6 (Р1 + Р2 - Р)>
где 0(р) -ступенчатая функция (1,10).
' Мы видели в § 16, что ряд лестничных диаграмм определяет (в вакууме)
амплитуду взаимного рассеяния двух частиц. Поэтому выражение (21,12)
содержит в себе поправку к членам первого порядка в амплитуде рассеяния.
Эту поправку можно учесть, заменив в Fn) (21,8)
(где f-точная до второго порядка амплитуда рассеяния в вакууме)1) и
одновременно вычтя из выражения Я21 (21,12) вещест--венную часть его
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 172 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed