Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
длина волны квазичастицы Ъ/р велика по сравнению
*) Понятие о фононах было введено в V §§ 71, 72 для элементарных
возбуждений в твердых телах. Подчеркнем, что импульс элементарного
возбуждения в микроскопически однородной системе - жидкости-есть истинный
импульс, а не квазиимпульс, как в периодическом поле кристаллической
решетки твердого тела.
110
СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ
[ГЛ. III
с межатомными расстояниями. По мере увеличения импульса кривая е = е(р),
конечно, отклоняется от линейной зависимости; дальнейший ее ход зависит
от конкретного закона взаимодействия молекул жидкости и не может быть
поэтому определен в общем виде.
В жидком гелии закон дисперсии элементарных возбуждений имеет форму,
изображенную на рис. 2: после начального линейного возрастания функция е
(р) достигает максимума, затем
Рис. 2,
убывает и при определенном значении импульса р0 проходит' через
минимум1). В тепловом равновесии большинство элементарных возбуждений в
жидкости имеет энергии в областях вблизи минимумов функции е(р), т. е. в
области малых е (область вблизи е = 0), и в области значения е(р0).
Поэтому именно эти области особенно существенны. Вблизи точки р = р0
функция е (р) может быть разложена по степеням р-рй. Линейный член в
разложении отсутствует, и с точностью до членов 'второго порядка имеем
е=Д + ^^-\ (22,6)
J) Эта форма спектра была впервые предложена JI. Д. Ландау (1947) на
основании анализа экспериментальных данных о термодинамических величинах
жидкого гелия; в дальнейшем она была подтверждена экспериментально
опытами по рассеянию нейтронов.
Качественная теория спектра такого типа дана Фейнманом (R. P. Feynman,
1954); см. ниже примечание на стр. 429.
§ 22] ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ В КВАНТОВОЙ БОЗЕ-ЖИДКОСТИ 111
где Д = е(р0) и т* - постоянные. Квазичастицы этого типа называют
ротонами. Подчеркнем, однако, что оба типа квазича-стиц - фононы и ротоны
- отвечают лишь разным участкам одной и той же кривой, между которыми
имеется непрерывный переход.
Эмпирические значения параметров энергетического спектра жидкого гелия
(экстраполированные к нулевому давлению при плотности р-0,145 г/см3)
таковы1):
Поскольку энергия ротона всегда содержит величину А, большую по сравнению
с Т - при температурах достаточно низких для того, чтобы можно было
говорить о "ротонном газе",- то последний можно описывать вместо
распределения Бозе распределением Больцмана. Соответственно этому, для
вычисления ротонной части термодинамических величин жидкого гелия исходим
из формулы для свободной энергии боль-цмановского газа
(см. V § 41). При этом под N в этой формуле надо понимать число ротонов в
жидкости. Но это число само определяется условием термодинамического
равновесия, т. е. условием минимальности свободной энергии. Приравняв
dF/dN нулю, найдем для числа ротонов
(что соответствует, естественно, больцмановскому распределению с равным
нулю химическим потенциалом). Соответствующее значение свободной энергии
В эти формулы надо подставить (22,6). Поскольку pl^>m*T, то при
интегрировании по dp можно вынести множитель р2 из-под знака интеграла,
заменив его с достаточной точностью на р\. При интегрировании
экспоненциального выражения можно распространить область интегрирования
от -оо до оо. В результате получим
и = 2,4-104 см/сек, Д = 8,7К,
(22,7)
р0/% = 1,9-10(r) смт1, т* = 0,16т (Не4).
(22,8)
Fp = - VT\e~e/Tdx.
(22,9)
*) Укажем также значение химического потенциала жидкого гелия при 7 = 0:
ц= - 7,16 К.
112
СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ
[ГЛ. III
Отсюда вклад ротонов в энтропию и теплоемкость:
Sp = JVp(f + A), СР = ЛГР(4 + А + -^). (22,10)
Мы видим, что температурная зависимость ротонной части термодинамических
величин в основном экспоненциальна. Поэтому при достаточно низких
температурах (дли жидкого гелия - ниже примерно чем 0,8 К) ротонная часть
меньше фононной, а при более высоких температурах положение меняется, и
ротонный вклад превосходит фононный.
§ 23. Сверхтекучесть
Квантовая жидкость с энергетическим спектром описанного типа обладает
замечательным свойством так называемой сверхтекучести-свойством протекать
по узким капиллярам или щелям, не обнаруживая вязкости. Начнем с
рассмотрения жидкости при абсолютном нуле, когда она находится в своем
нормальном, невозбужденном состоянии.
Рассмотрим жидкость, текущую по капилляру с постоянной скоростью v.
Наличие вязкости проявилось бы в том, что благодаря трению о стенки
трубки и трению внутри самой жидкости происходила бы диссипация
кинетической энергии жидкости и постепенное замедление потока.
Нам будет удобнее рассматривать течение в системе координат, движущейся
вместе с жидкостью. В этой системе гелий покоится, а стенки капилляра
движутся со скоростью -v. При наличии вязкости покоящийся гелий тоже
должен был бы начат-ь двигаться. Физически очевидно, что увлечение
жидкости стенками трубки не может привести с самого начала к движению
жидкости как целого. Появление движения должно начаться с постепенного
