Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
Произведем калибровочное преобразование \|>операторов:
ta(X)=^(X)e-'xW = $;>*№, (19,5)
где %(Х) - вещественная функция1). В силу указанного характера
гамильтониана, если ? удовлетворяет "уравнению Шредин-гера" (7,8), то ?'
удовлетворяет тому же уравнению с заменой
- ivy)2 ------> - i -
' dt dt dt
При бесконечно малом х = такое изменение уравнения эквивалентно
добавлению к гамильтониану "внешнего поля"
Ш^-^ + ±(А81 + 2(ч61) V).
В частности, если
6x(X) = Re(x0e-"<*), К = (а, к),
(причем ввиду линейности последующих операций знак Re можно опустить), то
6 и (Р2, Pj) =; (2 я)" Хо6(4) (/>,-/>,-/0 {" -2^к (р1 +Р')} • (19'6)
С другой стороны, функция Грина, построенная по ^-операторам:
*; = Фа(1+/6Х), ^а=^а(1-т
отличается от функции, построенной по операторам ?, ?+, на 6Gap (Хи Х2) =
iGap (Хг-ХЛ [бХ (Хг)-(Х2)] или, в компонентах Фурье:
"Gap (Р2, Рг) = J 6Gap (Xlt Х2) ё d*Xt d*X2 =
= i [Gocp (Л)-Gap (/>,)] 6t{Pi-Pi), (19,7)
где
бх (P) = J бХ (X) eipxd*X = (2я)" Xq6u> (P-K)-
Таким образом, одно и то же изменение 6Gap выражено в двух видах: (19,7)
и (19,4), куда надо подставить Ш из (19,6). Приравняв оба эти выражения
друг другу, получим (после замены Gap = G6ap и некоторых переобозначений
переменных)
<5"э [G(P + K)-G (Р)] = G (Р + К) G (/>){[-" + ] баР +
+ i J Грв, ав (К; Р, Q) G (Q) G (Q-К) [
k (2q - к)
(r)----------Ч?--------
2т
rf4Q
(2я)4
J) Оно аналогично калибровочному преобразованию в квантовой
электродинамике (ср. III (111,8-9)).
96 ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ФЕРМИ-СИСТЕМЫ при Г = 0 [гл.
II
Искомые тождества получаются путем перехода в этом равенстве к пределу
со, к-*0; при этом
G(P+K)-G(P)-+ соЦ+к|? (19,8)
(где Р = (р0> р))- Произведя этот переход при условии k/оз->-0, получим
первое тождество
9,9)
Здесь введено обозначение
{G2(p)}a== iim G(P)G(P+/Q при ft/и -0. (19,10)
(О, к 0
Аналогичным образом, произведя предельный переход при условии co/ft->-0,
получим еще одно тождество
в", Щг=(О- (/")>" [? """ -> J П".(Р, 0) А 0]
(19,11)
с аналогичным обозначением {G2(P)}ft.
Далее, рассмотрим изменение функции Грина при наложении на систему
постоянного поля
8U = 8U(r) = U0eikr. (19,12)
При к->-0 это поле медленно меняется в пространстве, так что его влияние
на систему может рассматриваться макроскопически. Согласно
термодинамическому условию равновесия во внешнем поле, должно быть ^ +
= const (см. V § 25); при
к-*0 это значит что химический потенциал ^ изменяется на малую величину -
U0. Соответствующее изменение функции Грина:
SGap(Xlt xt) = -1/Af>.
а его фурье-компонента (определенная, как в (19,7)):
SGaP (Р" Pi) = - (2я)' 8"> (P.-PJ и0 ^ .
С другой стороны, это же изменение функции Грина можно вычислить по
формуле (19,4), положив в ней на этот раз
6t/(P2, P1) = (2nyu0^(Pi-P1-K), (/C = 0,k). Переход к пределу k -s- 0 в
данном случае (постоянное поле,
§ 19J ТОЖДЕСТВА ДЛЯ ПРОИЗВОДНЫХ ОТ ФУНКЦИИ ГРИНА
97
о = 0) отвечает случаю сojk-*-0. В результате получаем тождество
.^РЦ3}------ir.ztDU Г R . ,• Гг*. .ID п\ )Г,2
*(2п)*
. (19,13)
Наконец, последнее тождество возникает как следствие галилеевской
инвариантности системы. Для его вывода рассмотрим жидкость в системе
координат, движущейся с медленно меняющейся со временем малой скоростью
Sw (t) = v/Qe~m. Переход к такой системе эквивалентен наложению внешнего
поля, оператор которого1)
б^==- i6w' P = -^r6w-V (19,14)
или, в импульсном представлении,
Ш (Р2, Pj) = -^w (2л)4б(4) (Р.-Р.-К), К = (to, 0).
Это выражение надо подставить в (19,4), после чего производим предельный
переход о>-*-0.
С другой стороны, при о-*-0 речь идет о преобразовании Галилея от одной
инерциальной системы отсчета к другой, движущейся с постоянной скоростью
6w. Если в жидкости имеется элементарное возбуждение с энергией е(р), то
в системе отсчета, движущейся относительно жидкости со скоростью 6w,
энергия этого возбуждения будет е - p8w 2). Поэтому в новой системе
отсчета частота р0 должна входить в функцию G (Р) в комбинации p0 + p6w
(так, чтобы полюс функции сдвинулся на -p8w). Таким образом,
6G = p6wgi, и мы приходим к тождеству
^н°а № {б"Рр-г JГ&.аб(Р, Q) q {G2 .
(19,15)
Нам придется ниже применять полученные тождества, в частности, при
значениях свободной переменной /5 = (р0,р) на фер-миповерхности: PF - (0,
pf). Перенеся множитель G2(P) из правых сторон тождеств в левые, заменим
там производные от G (Р)
х) В классической функции Лагранжа свободной частицы L = mv2/2 переход к
движущейся системе координат совершается заменой v->-v + 6w и приводит к
появлению малой (при малом 6w) добавки 6L = mv6w. Соответственно (ср. I
(40,7)) добавка к функции Гамильтона 6Я=-p6w, а в квантовой механике ей
отвечает оператор (19,14).
2) Ср. более подробные рассуждения ниже, в § 23.
98
ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ПРИ Т = О
[гл. и
производными от G_1 (Р); при этом способ перехода к пределу К 0 в G (Р)
G(P-\-K) несуществен.
С другой стороны, вблизи ферми-поверхности функция Грина определяется
