Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
Напомним в этой связи, что существование вакуумных поправок к функции
Грина частицы в релятивистской теории связано с возможностью появления
з промежуточных состояниях виртуальных электронных пар и фотонов.
82
ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ПРИ Т = 0 [гл. II
(здесь цифры 1 и 2 означают аргументы ^ и t2) при t2 > верхней внутренней
линии отвечает свертка = 0, а если t2<.tlt
то свертка <4ri"14r2> = 0 отвечает нижней линии.
Таким образом, для двух частиц в вакууме остаются только следующие
диаграммы, образующие, как говорят, "лестничный ряд":
Л '-¦'т Р
(i6,i)
Р 1 -г р 4 Г * |f - ? - f
~ " j + II + III
. Pq P2
Внутренним сплошным линиям в них отвечают вакуумные функции Грина
G<BaK>((o, p) = [(o-g + io]_1 (16,2)
(формула (9,7) с |х = 0). Обратим внимание на то, что (ввиду отсутствия
слагаемого в знаменателе) полюс этой функции всегда находится в
определенной (нижней) полуплоскости комплексного (о. Обращение в нуль
перечисленных выше диаграмм возникает, с математической точки зрения,
именно вследствие расположения всех полюсов подынтегральных выражений в
одной полуплоскости; обращение интегралов в нуль становится очевидным при
замыкании пути интегрирования в другой полуплоскости.
Лестничный ряд (16,1) можно просуммировать, сведя его к интегральному
уравнению (ср. ниже суммирование аналогичного ряда (17,3)). Если сначала
опустить диаграммы с переставленными концами 3 и 4, это уравнение
окажется эквивалентным уравнению Шредингера для двух частиц без учета их
тождественности, записанному в импульсном представлении (уравнение III
(130,9)). Соответственно, вершинная функция Г выразится через амплитуду
рассеяния f двух частиц формулой
1\>6.аР(Рз, Р*J Pi, P2) = 6aV6pe-^/. (16,3)
Прибавление же диаграмм с переставленными концами 3 и 4 приводит к
антисимметризации амплитуды, как это и должно быть для фермионов. В
первом приближении теории возмущений остаются лишь первая диаграмма
(16,1) и диаграмма с переставленными концами, в которые G("aK> вообще не
входит. Для амплитуды рассеяния тогда получится обычная формула
АМПЛИТУДА РАССЕЯНИЯ КВАЗИЧАСТИЦ
83
первого борновского приближения. Последующие диаграммы, после проведения
интегрирования по промежуточным частотам, дают известные выражения для
поправок к амплитуде в следующих борновских приближениях.
В ферми-жидкости взаимодействие сталкивающихся частиц с частицами среды
приводит к их эффективной замене квазичастицами. Все связанные с этим
взаимодействием поправки к внутренним линиям диаграммы автоматически
учитываются определением функции Г. Дополнительного учета требуют,
однако, поправки к внешним линиям. В квантовой теории поля показывается,
что уже в силу общих требований унитарности матрицы рассеяния эти
поправки приводят к появлению в амплитуде рассеяния по множителю J/Z на
каждый свободный конец, где Z-перенормировочная постоянная функция Грина
(см. IV § 107); для диаграмм с четырьмя концами это означает умножение на
Z2. Хотя изложенный там вывод справедлив и для квазичастиц в ферми-
жидкости, поясним здесь происхождение этого множителя также и с помощью
более простых (хотя и не строгих) рассуждений.
Дело в том, что гриновская функция жидкости вблизи своего полюса (первый
член в (10,2)) отличается от гриновской функции идеального газа только
множителем Z. Если ввести вместо Т и f+ операторы WKa = 4?ly Z, =
Чг+/|/Z, то составленная из них гриновская функция GKB = G/Z будет
выглядеть вблизи полюса в точности как для идеального газа. В этом смысле
эти операторы можно рассматривать как ^-операторы идеального газа
квазичастиц. Определенная по ним двухчастичная функция Грина будет
/CKB=/(/Z2, и, следовательно (согласно определению (15,7)), вершинная
часть rKB = rZ2, что и требовалось.
В применении к квазичастицам представляет интерес не столько сечение
рассеяния, сколько число столкновений (в 1 сек в 1 см3 жидкости). Для
столкновений с заданным изменением импульсов и проекций спинов частиц
(р^, рар->- р37, р4б) такое число дается формулой
dW = 2jx|Z2rYe,0p(P3, Pt\ Pi, P2)l26(e3 + e4 -Ci-ea)x
X nPlnPt (1 -np.) (1 -О -3р1(УР3' (16>4)
причем p1+p2 = p3 + pi, а пр - функция распределения квазичастиц.
Множители nPl и пР2 выражают собой просто тот факт, что число
столкновений квазичастиц с заданными начальными импульсами и (проекциями
спинов) пропорционально числам
84
ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ПРИ Т = 0 [гл. II
таких квазичастиц в единице объема. Множители же (1-пРз) и (1-rcPl)
связаны с тем, что, согласно принципу Паули, столкновение может
произойти, только если конечные состояния свободны.
§ 17. Вершинная функция при малых передачах импульса
Важную роль в теории ферми-жидкости играет вершинная функция при близких
значениях пар переменных Р1г Р3 и Р2, Р4 (мы увидим, в частности, что она
тесно связана с функцией взаимодействия квазичастиц). Имея в виду связь
положим Р3 = Р1-\-К, Pi = P2-К и введем упрощенное обозначение
мы будем рассматривать эту функцию при малых значениях К-В терминах
