Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
из всех Г?е, аа отличны от нуля лишь Гаа, аа. Это утверждение выражает
собой неизменность вектора спина при рассеянии. Его можно проверить также
и непосредственно по выражению вида (2,4).
90
ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ПРИ Т *= О [гл. II
При К, S->-0 функция Г7в аа будет зависеть, следовательно, от двух
"особых" аргументов:
ш я0 + ш
х k ' У | s + k | *
и (17,18) означает обращение этой функции в нуль при х - у. Будем
рассматривать значения Г на ферми-поверхности; тогда co = so = 0, так что
и у - 0. Поэтому в таком пределе равенство (17,18) имеет место, только
если и х = 0. Другими словами, на ферми-поверхности оно справедливо для
Г*:
TU,aa(Pu Л) = 0 (17,19)
(N. D. Mermin, 1967).
§ 18. Связь вершинной функции с функцией взаимодействия квазичастиц
Подобно тому как в образовании матричного элемента (7,9), определяющего
одночастичную функцию Грина, участвуют промежуточные состояния с числами
частиц Л^±1, так в образовании двухчастичной функции Грина (матричный
элемент (15,1)) участвуют промежуточные состояния с N, N + 1, N ± 2
частицами 1).
Ввиду наличия промежуточных состояний с JV ± 1 частицей двухчастичная
функция Грина имеет полюсы, совпадающие с полюсами функции G, т. е. с
энергией квазичастицы. Соответствующие множители, однако, выделены в
(15,7) в явном виде. Поэтому определяемая этой формулой вершинная функция
Г имеет лишь полюсы, соответствующие состояниям с N и N ± 2 частицами.
Момент импульса этих состояний отличается от момента основного состояния
на 0 или 1, так что отвечающие этим полюсам элементарные возбуждения
имеют целый спин (0 или 1) и потому подчиняются статистике Бозе. Другими
словами, полюсы вершинной функции определяют бозевские ветви
энергетического спектра ферми-жидкости.
Полюсы, возникающие от промежуточных состояний без изменения числа
частиц, отвечают элементарным возбуждениям, представляющим кванты
нулевого звука. В диаграммной технике промежуточным состояниям отвечают
различные сечения диаграмм, разделяющие их на две части между теми или
иными из ее внешних концов. В данном случае промежуточным состоя-
*) Состояния с N частицами возникают при такой, например,
последовательности операторов в Т-прои^ведении, как Состояния же с
jV + 2
частицами отвечают таким последовательностям, как
§ 18J
ФУНКЦИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ КВАЗИЧАСТИЦ
91
ниям без изменения числа частиц отвечают сечения диаграмм
(17,3) по одной из пар сплошных линий, соединяющих соседние
блоки Г; неизменность числа частиц в этих состояниях выражается
одинаковостью числа линий, пересекающих сечение в ту и другую стороны.
Перенос 4-импульса через такое сечение есть (Q + /C) - Q = K\
соответственно этому, элементарным возбуждениям без изменения числа
частиц отвечают полюсы вершинной функции Г (ft; Pit Р2) по переменной К-
Мы видели выше (при выводе (17,10)), что из двух импульсов q и q+k
(входящих в 4-векторы Q и Q+/C) один должен быть больше, а другой меньше
предельного импульса рр. С другой стороны, при возбуждении из основного
состояния вне ферми-сферы могут быть только "частицы", а внутри нее -
только "дырки". В этом смысле можно сказать, что нулевые возбуждения в
ферми-жидкости можно рассматривать как связанные состояния частицы и
дырки*).
Элементарные же возбуждения, отвечающие промежуточным состояниям с Л^±2
частицами (им соответствуют полюсы функции Г (/С; Р2) по переменной Р± +
Р2), можно было бы рас-
сматривать как связанные состояния двух частиц или двух дырок. Наличие
таких состояний, однако, привело бы (как будет показано в главе V) к
сверхтекучести ферми-жидкости, что, в свою очередь, требует существенного
изменения всего математического аппарата диаграммой техники.
Таким образом, для определения бозевской ветви энергетического спектра
несверхтекучей ферми-жидкости надо исследовать полюсы вершинной функции Г
(/С; Pi, Р2) по переменной /С = (со, к). При каждом значении к полюсу
отвечает определенная энергия со = со (к), чем и определяется закон
дисперсии этих возбуждений. Для слабо возбужденных состояний со и к малы,
так что можно использовать уравнения, полученные для функции Г (/С; Pi,
Р2) в области малых значений К,.
Вблизи полюса функции Г левая сторона и интеграл в правой стороне
уравнения (17,15) сколь угодно велики; член же ГМ(Р1( Р2) остается
конечным и потому может быть опущен. Далее замечаем, что переменная Р2, а
также индексы |3 и 6 не затрагиваются операциями, производимыми в
уравнении
(17,15) над функцией Г, т. е. играют в нем роль несущественных
параметров. Наконец, мы будем рассматривать функцию Г на поверхности
ферми-сферы, т. е. положим Рj = (0, ррп), где п-переменный единичный
вектор. Имея все это в виду, заклю-
1) В такой постановке задача формально имеет много общего с задачей об
определении уровней связанных состояний электрона и позитрона в квантовой
электродинамике (см. IV § 122). В частности, уравнение (17,4-5)
аналогично уравнению Бете-Солпитера IV (12^10-11).
