Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
процессов рассеяния квазичастиц это значит, что рассматриваются
столкновения с малой передачей 4-импульса, близкие к "рассеянию вперед".
При К = 0 функция Г имеет, как мы увидим, особенность; нас будет
интересовать именно та часть функции, в которой заключена эта
особенность. Происхождение последней легко понять из рассмотрения
скелетной диаграммы
заключающей в себе ту совокупность диаграмм двухчастичной функции Грина,
которые могут быть рассечены между парами концов Plt Р3 и Р2, Р4 на две
части, соединенные между собой двумя сплошными линиями1). Двум
соединительным жирным линиям отвечают точные одночастичные гриновские
функции G(Q) и G(Q-f-/C)> причем по 4-импульсу К в диаграмме производится
интегрирование. При /С-*¦ 0 аргументы этих двух функций сближаются, а
потому сближаются и их полюсы. Сближающиеся полюсы могут "зажать" между
собой путь интегрирования (см. ниже), что и является источником
возникновения особенности в функции Г.
1) Так, во втором порядке теории возмущений (по парному взаимодействию) в
(17,2) входят диаграммы (15,11а,б,в) и диаграмма (15,11д) с
переставленными концами 3 и 4.
(17,2)
§ 17] ВЕРШИННАЯ ФУНКЦИЯ ПРИ МАЛЫХ ПЕРЕДАЧАХ ИМПУЛЬСА
85
Для вычисления точной функции Г надо просуммировать весь ряд теории
возмущений. Поскольку наша цель состоит в выделении части, имеющей
особенность при /С == 0, надо прежде всего отделить вклад от всех
диаграмм, которые не могут быть рассечены по парам сплошных линий с
близкими (отличающимися на К) значениями 4-импульса. Эту часть функции Г,
не имеющую особенности при К.= 0, обозначим посредством Г; в ней можно
положить К = О, так что Г будет функцией лишь переменных Plt Р2: Г\,б,<хр
(^i, Р2)- Что же касается "опасных" диаграмм, то их можно
классифицировать по числу содержащихся в них пар линий с близкими
аргументами. Таким образом, полная вершинная часть Г изобразится
следующим бесконечным "лестничным" рядом диаграмм:
Здесь светлому кружку отвечает искомое iT, а заштрихованные кружки
изображают iT. Внешние линии на этих диаграммах не входят в определение Г
и служат лишь для указания числа и значений входящих и выходящих 4-
импульсов.
Все внутренние линии на диаграммах (17,3)-жирные, т. е. им соответствуют
точные G-функции. Подчеркнем в этой связи, что возможность представления
Г в виде этих скелетных диаграмм (а тем самым и все дальнейшие следствия
из них) отнюдь не предполагает парности взаимодействия между частицами,
поскольку пунктирные линии здесь в явном виде отсутствуют; от характера
взаимодействия в действительности зависит лишь (не интересующая нас
здесь) внутренняя структура блоков, изображенных кружками1).
Задача о суммировании ряда (17,3) сводится к решению интегрального
уравнения, для получения которого "умножим" весь ряд еще на одно Г, т. е.
заменим его рядом
J) Предполагается лишь такое общее свойство, как сохранение числа частиц.
Последнее проявляется в постоянстве разности числа линий, проходящих
направо и налево в каждом сечении диаграммы (равной нулю для сечений
показанного в (17,3) типа).
+ ••• (17,3)
Ц*К Рг-к
=)о$(+)юс>(-
86
ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ПРИ Т- О [гл. II
Сравнение с исходным рядом (17,3) приводит к равенству
- к" - у <->
Pj+H Р2-К Pj+K Р2-К Р]+К Р2-К
Это диаграммное равенство, будучи записано в аналитическом виде, и дает
искомое интегральное уравнение
Губ, a(i(^C; РРг)-
= fV6, ap (Plf pt)-i j rvt. (Plt Q) G (Q+K) G (Q) x
xI\"e.cl,(tf;Q>P,)J^. (17,5)
Согласно сказанному выше, в функциях Г положено /С = 0; использованы
введенные выше сокращенные обозначения Г и Г, а также положено Gap =
G8ap.
Для исследования этого уравнения рассмотрим прежде всего стоящее в его
ядре произведение G(Q+/C)G(Q). Как уже было отмечено, при малых К полюсы
обоих множителей близки друг к другу. Вблизи этих полюсов G-функции
представляются полюсными членами (10,2). Обозначив компоненты 4 векторов
К. и Q, согласно
/С = (а>, k), Q = (<?", q), (17,6)
пишем в этой области
G(Q)G(Q+K)&
" Z2 [q0-vP (q-pF) + i6J~1 [q0 + со- vF (| q + к | - pp) +162] -:1,
(17,7)
где бц б2-бесконечно малые добавки, знак которых (вблизи полюсов)
определяется согласно
sign 6j = sign (q-pp), )7R.
sign 62 = sign (| q + k |-pF). ' '
Знаки бх и б2 определяют расположение полюсов - в верхней или нижнбй
полуплоскостях комплексной переменной q0. Особенность в ядре
интегрального уравнения (а с ним и в его решении) возникает в результате
зажатия контура интегрирования по dq0 (вещественная ось) между полюсами,
для чего последние должны находиться по разные стороны Зтого контура, т.
е. в равных полуплоскостях.
§17] ВЕРШИННАЯ ФУНКЦИЯ ПРИ МАЛЫХ ПЕРЕДАЧАХ ИМПУЛЬСА
87
Предположим сначала, что qk > 0, т. е. cos0>O, где 0 - угол между q и к.
Тогда |q-fk|>'<7, и 6t и б2 имеют различные знаки (6t < 0, 62>0), если
q<_pF, |q-fk|>pF, что ввиду малости k эквивалентно условиям
pF-kcosQ q <. pF. (17,9)
При дальнейшем интегрировании по dq0 в (17,5) путь интегрирования можно
