Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
взаимодействующих частиц. Оно связано соотношением р3р/3п2 = п с точной
плотностью я(|х), а не с приближенной я1о), как в (13,5).
76 ГРИНОЙСКИЕ ФУНКЦИИ ФЕР1ЙИ-СЙСТЕМЫ ПРИ Т = О 1гл. II
§ 15. Двухчастичная функция Грина
К другим важным понятиям диаграммной техники мы придем, рассмотрев
усредненное по основному состоянию Т-про-изведение четырех
гейзенберговских ^-операторов J);
Я34,12 = <Т*3ВДП>. (15,1)
Эту функцию называют двухчастичной функцией Грина (в отличие от функции
Грина (7,9), называемой в этой связи одночастичной).
Для применения теории возмущений и построения диаграммной техники надо
снова перейти к ^-операторам в представлении взаимодействия. Как и в
случае функции G, это приведет к появлению множителя S под знаком Т-
произведения:
K3i, l2 = -4-<T$0,$0l*b$bS>. (15,2)
vb>
В нулевом приближении (т. е. при S = 1)3to выражение распадается на сумму
произведений двух сверток, выражающихся через О(0)-функции:
ЮХ u = G%G<S-Gl?G%. (15,3)
Дальнейшее обсуждение свойств определенной таким образом двухчастичной
функции Грина будем проводить в импульсном представлении.
Для однородной системы функция /С3", 12 зависит фактически лишь от трех
независимых разностей аргументов, например, от Х3 - Х2, Х4-Х2, Xi - Х2. В
импульсном представлении это свойство выражается тем, что компонента
разложения Фурье по всем переменным Х±.......Х4 содержит 6-функцию:
S K3i, 12exp {iiPtXt + PiXt-PtXi-PJfld'Xi.. .d'X4 =
= (2я)4 № (P3 + Pt-Pi-Pa) Куб, ap (P3, Pt; Plt Pt). (15,4) В этом легко
убедиться, заметив, что P3X3 + PiXl-P1Xi-P2X2 = = Р3 (Х3-Х2) + Р, (Xi-XJ-
P, (X.-XJ-X, (Pi + P-Pa-PJ,
и перейдя к интегрированию по Хэ-Xit Хл-Х2, Xf-X^ Х2. Отметим, кстати,
что формулу обратного фурьё-преобразования
1) Мы снова применяем упрощенные обозначения, где индексы 1, 2,
обозначают совокупности 4-координат и спинового индекса: Хха, Х2р, ...
(ср. примечание на стр. 66). В полной зациси
Kat, 12 = Куб, ар (Х3, Л4; Xt, Xs).
§15] ДВУХЧАСТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ ГРИНА 77
можно записать как
^34, 12= S Куб. ap(^3> Р*, Pi> Ps + Pi - Рг)Х
хехр {- i [p3iX-X2)+Pi(Xi~X2)-P^X-X2)]yiPl^)fP*.
(15.5)
Определенную таким образом функцию Куб, а$(Р3>Р^ Pi> Рг) мы и будем
называть двухчастичной функцией Грина в импульсном представлении; ее
аргументы связаны равенством
Р i-\- Р 2 = Рз~\~ РI-
В нулевом приближении имеем для нее (в соответствий с (15,3))
Kylat(P", Pi, Pi,PJ =
= (2 пу [S'4> (Р-Р3) G(r) (PJ 0(6%(Р2)-^(Р-Р,) G$ (Р2) GeJx (Л)].
(15.6)
т. е. К сводится к сумме двух произведений одночастичных гриновских
функций.
В следующих приближениях теории возмущений появляются члены, сводящиеся к
введению поправок к этим одночастичным функциям. Наряду с ними, однако,
возникают также и члены, не укладывающиеся в произведения G-функций.
Именно эта часть двухчастичной функции Грина представляет самостоятельный
интерес. Для ее выделения представим К в виде
Ка3а.1, а,аг (Рз> Р4-> Рi> Pi) - (2я)4 [б(4> (Pt Р3) Ga3a, (Pi)
Gttlaг(Р2) -6'" (P-PJ Gasa2 (Р2) Gaia, (/>х)] +
^а3Рз (Рз) (Pt) (Р3, РРх, Р2) Gplttl (Pj) Gpi(x, (Р2)'
(15.7)
Определенную таким образом функцию Г называют вершинной функцией.
Согласно определению (15,1), двухчастичная функция Грина в
пространственно-временном представлении антисимметрична по отношению к
перестановкам аргументов (вместе со спиновыми индексами) первой и второй
пары: 1 и 2 или 3 и 4. Отсюда следует аналогичное свойство симметрии для
функции Грина и вершинной функции в импульсном представлении:
Г-уб, ар (Р31 РPit Рг) - - Гб7, а0 (Ро ^з" Pit Р2) 1=5
= Г,ра (Ра> Рii РPi)' (15,8)
Смысл выделения четырех G-множителей в определении Г (последний член в
(15,7)) становится ясным, если проследить
78
ГРИНОВСКЙЕ ФУНКЦИИ ФЕРМИ-СИСТЕМЫ при Т = д [гл. и
за характером диаграмм, возникающих при раскрытии выражения (15,2) для
двухчастичной функции Грина. Следующие ниже рассуждения снова
предполагают парное взаимодействие между частицами.
В нулевом приближении функции К сопоставляются диаграммы
Р* = Р i Pt = Pj
Pi ~ Р2 Рз~ Р2
отвечающие двум членам в (15,6). В первом порядке теории возмущений
появляются диаграммы типов*)
С
представляющие собой поправки к каждому из отдельных множителей в (15,6).
Кроме них, однако, появляются также диаграммы, не разбивающиеся на две
отдельные части:
+
if
"рг
(15,9)
Четыре стрелки Рг, ...,Р4 отвечают четырем G-множителям в последнем члене
в (15,7), а "внутренняя" часть диаграмм определяет (в первом порадке)
вершинную функцию - кружок в левой стороне диаграммного равенства (15,9).
Раскрыв эти диаграммы в аналитическом виде, получим
Г% <х0 (Р3, Р" Рг, Р,) = - S<xvVU (Рх-Рз) + "авбPvt/ {Рг-Р,).
Диаграммы более высоких порядков содержат поправки трех категорий: 1)
дальнейшие поправки к двум не соединенным между собой сплошным линиям, 2)
поправки собственно-энергетического типа к концевым линиям на диаграммах
(15,9),
3) поправки, образующие фигуру, заменяющую собой пунктирную линию на
диаграммах (15,9); сумма всех возможных таких
