Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
всегда стоит слева от Y.
§ 13]
ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ДЛЯ ФЕРМИ-СИСТЕМ
67
Таким образом, получим
"Са> = у j* *Х, d*Xt • U "[- G&GffGi? - GiffGSS?GiS)+
+ т(0)С1°з)Сз2) + m<0)Gi4)Gia)].
Эти четыре члена попарно равны друг другу-они отличаются лишь
обозначением переменных интегрирования Х3 и Х4. В результате множитель
1/2 исчезает и, таким образом, поправка первого порядка в функции Грина
содержит всего два члена:
Структуру этих членов удобно изобразить графически с по мощью следующих
диаграмм Фейнмана:
На этих диаграммах сплошная линия 4"-2 означает свертку
(т. е. функцию t'Gia); цифры указывают номера переменных Х4 и Х2, от
которых завися^ свертываемые операторы, а направление стрелки отвечает
направлению от ?+ к ? в свертке.
Свертка двух операторов, зависящих от одних и тех же
переменных (т. е. плотность п(0)), изображается соответственно петлей-
сплошной линией, "замкнутой на себя". Пунктирная
линия 3.......4 означает множитель U3i. По всем переменным,
обозначенным у внутренних точек диаграммы (точки пересечения линий),
подразумевается интегрирование. Переменные (Xj и Х2), обозначенные у
"внешних концов" диаграммы, остаются свободными.
Члены первого порядка, происходящие из (13,3), изобразились бы
диаграммами, распадающимися на две отдельные части- прямой отрезок
(tGa'p) и фигуру с замкнутыми петлями сплошных линий, например,
Вдумавшись в способ свертывания операторов и структуру соответствующих
диаграмм, можно понять происхождение общего правила: во всех порядках
теории возмущений роль множителя <5>-1 в (12,14) сводится к тому, что
должны учитываться лишь "связные" диаграммы с двумя внешними концами, не
содержащие "отсоединенных" петель без внешних концов, не связанных с
другими частями диаграммы ни сплошными, ни
iG(r) = $ U3i[/n(e>G^GiS)-GS>GSJGa)]d'X, d^Xt. (13,6)
0
13 4 2
(13,7)
68
ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ПРИ 7 = 0 [гл. и
пунктирными линиями (ср. аналогичную ситуацию в квантовой электродинамике
- IV § 100).
Сокращение коэффициента 1/2 в (13,6) есть проявление общего правила: не
надо учитывать (в членах п-го порядка) множитель 1/л!, происходящий от
разложения (13,1), и множитель 2~п, возникающий от коэффициентов 1/2 в
(13,2). Действительно, диаграммы л-го порядка содержат по п пунктирных
линий
i.......k. Множитель 1/п! сокращается от приведения членов,
отличающихся перестановками пар чисел i, k между всеми п пунктирными
линиями. Множитель же 2~п сокращается от перестановок чисел i, k между
концами каждой из этих линий.
Окончательные правила диаграммной техники мы сформулируем для вычисления
функции Грина не в координатном, а сразу в импульсном представлении,
наиболее важном для физических применений.
Переход к импульсному представлению осуществляется путем разложения Фурье
(7,21-22), которое запишем в "четырехмерном" виде1)
G(X)=^G(P)e-^^, G(P)=§G(X)e'(tm)d*X, (13,8)
где "4-импульс" Р = (со, р), a PX = at-рг. Аналогичным образом разложим
также и потенциал взаимодействия:
и (X) = б (0 U (г) = J U (Q) -Ц , (13,9)
где Q = (q0, q); при этом U (Q) совпадает с компонентой трех-
мерного разложения
U(Q) = U(q) = l U {г) e-lvd*x. (13,10)
Ввиду четности функции U (г) очевидно, что U (- q) = U( q).
Произведем это разложение для поправки первого порядка GiV = Ga|i(-^i-
Х2). Для этого умножаем равенство (13,6) на
exp[t'P(X1-Х2)] и интегрируем его по d4(Xj - Х2).
В первом члене пишем
giP (Xj - Х2) ==z giP (Xi - X$)giP (Х3 -Ха)
и, заменив переменные интегрирования, получаем m<"> S <*•-*•> d* (Xt-
X,)x
X S G% (Xa-X2) ё*<*•-*'>d*(Xз-Xt) \U(X3-Xt) d* (X3-Xt).
J) Используя для удобства изложения и обозначений четырехмерную
терминологию, подчеркнем лишний раз, что она не имеет здесь никакого
отношения к релятивистской инвариантности!
§ 13] ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ДЛЯ ФЕРМИ-СИСТЕМ 69
Первые два интеграла дают G^%(P) G$(P), а третий равен U (0) = J U (г)
d3x-значению (q) при q = 0.
Аналогичным образом, во втором члене пишем
eiP (X, - Хг) _ eiP (X, - Х3) еСР (Х3 -Х4) eiP (Х4- Хг)
и после перехода к интегрированию по Xj- Х3, Xs- Х4, Х4-Ха получаем
- G"? (Р) 5 Gfl (X) U (X) е{рх d*X • G$ (Р).
Оставшийся интеграл выражается через фурье-компоненты функций G$j и U с
помощью формулы для фурье-компонент произведения двух функций1)
j f (X) g (X) d*X = j f (P^ g(P-Pi)-^. (13,11)
Таким образом, для поправки первого порядка в функции Грина в импульсном
представлении окончательно находим
iGSb (р) = ^0) U (0) Gav (Р) Gvp (Р) -
-J G<°> (Р) G$ (/\) Gap (/>) ?/ (Р-Р±) @ • (13,12)
Каждому из двух членов в (13,12) ставится в соответствие определенная
диаграмма Фейнмана, и выражение (13,12) записывается в виде
9
(13,13)
р*--р ?-f| р-''-р
а) 6)
х) Для доказательства этой формулы надо подставить в ее левую сторону
сами функции /(X) и g(X) в виде фурье-разложений:
J / (X)t (X) eipx "*** = J / (Рг) 8 (P2) e( (P"P*-P!) x d*X
Интегрирование no dlX осуществляется по формуле
J elpxdiX'=(2n)i 6W (P),
где "четырехмерная" б-функция 6<4) определяется как произведение S-
