Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
Вика справедлива не только в макроскопическом пределе. Соответствующее
доказательство теоремы в статистике совпадает с ее доказательством в
квантовой электродинамике (IV § 78). Единственное отличие между этими
случаями- разные основные состояния: в вакууме частицы отсутствуют, а в
идеальном газе заполняют фермй-сферу с радиусом pF. Для операторов а*, ар
рождения и уничтожения частиц с р > рр это отличие вообще несущественно и
доказательство переносится буквально. Для операторов же с р < рР надо
предварительно переобозначить ajj" = bp, ap=bp, т. е. перейти от частиц к
дыркам, которые в основном состоянии внутри ферми-сферы отсутствуют.
§ HI
СОБСТВЕННО-ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
73
Мало того, можно заранее вычислить сумму некоторых фигур, имеющих
определенное число концов, и затем вставить этот "блок" в более сложные
диаграммы. Это-одно из важнейших преимуществ диаграммой техники.
Одним из таких "блоков", имеющих также и существенное самостоятельное
значение, является так называемая собственноэнергетическая функция1).
Чтобы прийти к этому понятию, рассмотрим все диаграммы для функции Грина,
которые нельзя разделить на две части, соединенные лишь одной сплошной
линией. К таковым относятся, например, обе диаграммы первого порядка
теории возмущений (13,13) и диаграммы (13,14а-е) второго порядка. Все эти
диаграммы построены однотипно: по одному множителю iGajj по концам и
некоторая внутренняя часть (функция от Р), которую и называют собственно-
энергетической функцией. Сумму всех возможных таких частей называют
точной или полной собственно-энергетической функцией или массовым
оператором', обозначим ее через -i2ap (Р).
Все диаграммы собственно-энергетического типа дают в гри-новскую функцию
вклад, равный
iGSb (Р) [-i2Pv(P)]"G$ (Р) = iG(°> (Р) 2 (Р) G'°> (Р) 6а6, (14,1)
Полная же функция Грина (изображаемая графически жирной сплошной линией)
дается суммой бесконечного ряда
где кружки изображают точные собственно-энергетические функции (-tSaP).
Каждый член этого ряда (начиная с третьего) представляет собой
совокупность диаграмм, которые могут быть рассечены на две, три и т. д.
части, соединенные между собой одной сплошной линией.
Если от всех членов ряда (14,3), начиная со второго, "отсечь" один кружок
с присоединенной к нему справа линией, то оставшийся ряд будет снова
совпадать с полным рядом. Это значит, что
где помимо Ga°p = G(0)6ap написано также и
Бар(Р) = 6аЭБ(Р).
(14,2)
+
"
(14,3)
(14,4)
*) Ср. аналогичное определение в квантовой электродинамике, где такая
функция называлась компактной собственно-энергетической (IV §§ 100, 102).
74
ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ПРИ Т -О
[гл. II
В аналитическом виде это равенство записывается как
G = G(0> + G2G<°> (14,5)
или, разделив на G(0)G:
~G(P) = G<°) (Р) (14,6)
Отметим, что знак мнимой части 2 совпадает со знаком Im G и, согласно
(8,14),
sign Im2 (со, р) = --signсо. (14,7)
Это следует из (14,6) с учетом того, что знак ImG-1 противоположен знаку
ImG, а согласно (9,7), ImG(0)_1 = 0.
Таким образом, вычисление G сводится к вычислению 2, требующему
рассмотрения меньшего числа диаграмм. Это число еще более уменьшается в
связи с тем, что часть оставшихся диаграмм сразу суммируется к очень
простому выражению.
Именно выделим из всей совокупности диаграмм, определяющих 2 (при парном
взаимодействии между частицами), те, которые представляют собой различные
"отростки", присоединенные к концевым линиям одним пунктиром: их сумму
обозначим через 2а. Все такие диаграммы содержатся в одной скелетной
диаграмме вида*)
(14,8)
Остальную же часть 2 обозначим 2Ь. Так, среди диаграмм первого и второго
порядков к первой категории относятся следующие:
(14,9)
!) Как и в квантовой теории поля, скелетными называют диаграммы,
составленные из жирных линий и блоков; каждая такая диаграмма
эквивалентна определенной совокупности бесконечного числа обычных
диаграмм различных порядков.
а)
В)
8)
§ 14]
СОБСТВЕННО-ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
75
а ко второй:
9
Х ЬГ^ а) 6) / '
1J (14,10) N Ok
+ *-t; -14- + L~
ej a)
Жирной петле на диаграмме (14,8) отвечает точная плотность системы п (ц.)
(подобно тому, как тонкой петле на диаграмме (13,13а) отвечает плотность
идеального газа п(0) (ц,)). Поэтому из определения (14,8) следует, что
-t2a=-ln(n)t/(0). (14,11)
Таким образом,
2 = п(ц)1/(0) + 26, (14,12)
так что особого вычисления требуют лишь диаграммы, входящие в 2Ь.
Закон дисперсии квазичастиц определяется уравнением (8,16). Выразив в нем
G через 2, согласно (14,6), и взяв G(0) из (9,7), получим это уравнение в
виде
1 ^е(р)_^-==2(е-ц>р). (14,13)
G<°>(e-ц, Р) 2т
На границе ферми-сферы при р = ре энергия квазичастицы совпадает с у..
Отсюда видно, что
ц-2(0, Pf) = 4|-. (14,14)
В результате уравнение закона дисперсии принимает(при значениях р вблизи
рр) вид
е(р)- p = I?(p -Pf) + E(e-ц, рр)-2(0, pf). (14,15)
Подчеркнем, что рР здесь-точное значение граничного импульса для системы
