Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лифшиц Е.М. -> "Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния " -> 26

Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.

Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния — Москва, 2000. — 449 c.
Скачать (прямая ссылка): statisticheskayafizika2000.pdf
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 172 >> Следующая

функций от компонент "4-вектора" Р. Возникающий множитель 6<4> (Р-Pi -
Ра) устраняется интегрированием по diP2, и мы приходим к правой сторона
(13,11),
70
ГРИНОВДКИЕ ФУНКЦИИ ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ПРИ Т - 0 [гл. II
Точки пересечения линий называют вершинами диаграммы. Каждая диаграмма
имеет 2п вершин, где п - порядок теории возмущений. В каждой вершине
сходятся две сплошные и одна пунктирная линии. Каждой сплошной линии
приписывается свой "4-импульс" Р в направлении, указанном стрелкой
(причем вдоль каждой непрерывной последовательности сплошных линий
направление стрелок не меняется). Каждой пунктирной линии приписывается
4-импульс Q, причем и для этих линий условно выбирается какое-либо
(любое) направление стрелки *). В вершинах диаграммы выполняется "закон
сохранения 4-импульса": сумма 4-импульсов входящих линий равна сумме 4-
импульсов выходящих из вершин линий. Вершине приписывается также и
определенный спиновый индекс а. Каждая диаграмма имеет две внешние линии
(входящую и выходящую), 4-импульс которых есть аргумент искомой функции
Грина Gap(P); выходящей и входящей внешним линиям приписываются также
спиновые индексы а и |3 этой функции. Остальные линии диаграммы называют
внутренними.
Аналитическая запись членов, отвечающих каждой диаграмме, производится по
следующим правилам:
1) Каждой сплошной линии между вершинами аир ставится в соответствие
множитель Ю^ЦР), каждой пунктирной линии-множитель -ill (Q). Замкнутой
петле с одной вершиной сопоставляется множитель /г<0)(^.).
2) В каждой вершине выполняется закон сохранения 4-импульса. По
остающимся неопределенными 4-импульсам внутренних линий производится
интегрирование по й*Р/(2я)4. В каждой вершине производится суммирование
по паре немых спиновых индексов-по одному от каждого из соседних О(0)-
множи-телей.
3) Общий множитель, с которым диаграмма входит в i'Gap, равен (-\)L,
где L-число содержащихся в ней замкнутых петель сплошных линий с более
чем одной вершиной.
Последнее правило имеет следующее происхождение. Замкнутая петля с k > 1
вершинами происходит от свертки 'ф-опера-торов вида
Здесь все свертки равны iG$.........k, а последняя равна
*) "Временные" компоненты 4-векторов Q = (q0) q), вообще говоря, отличны
от нуля, но функция U (Q), по определению (13, 10), от q0 не зависит.
Условность направления пунктирной линии связана с четностью функции U(-Q)
= U(Q).
ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ДЛЯ ФЕРМИ-СИСТЕМ
71
- iGkl- Что касается петель с одной вершиной, то их правильный знак
учитывается уже введением п(0) по правилу 1.
Для примера изобразим совокупность диаграмм, определяющих поправку
второго порядка в функции Грина:
Р<---------i------<-
?__________ s
-Р -----------?------4-----j.-------
¦ > * а)
0
1 I
Д,__Ц
В)
о
0
1
.. I.
е)
9
9
*---------------г)
99
I I
-4,___U
ж)
5)
В)
(13,14)
¦л..- д<-С__________и
9
X)
Наконец, вернемся к теореме Вика и дадим ее доказательство в применении к
"макроскопическому пределу" (т. е. при V-> оо или, что то же при заданной
плотности системы, при N-^оо), который только и существен в
статистических применениях.
Рассмотрим, например, среднее от произведения четырех ф-операторов типа
<^01^02^03^04> == "уа" ^ ^aPiap2aPsaP4^ еХР (• • •) (13,15)
Pi... Pi
(^-операторы представлены в виде (9,3); очевидные, но громоздкие
показатели экспонент не выписываем). В этой сумме отличны от нуля лишь
члены, в которых содержится по одинаковому числу операторов ар и ар+ с
одинаковыми значениями импульсов. Среди них есть члены, в которых
импульсы равны попарно, например, р1 = р4 и р2 = р*- Эти члены отвечают
попарной
72
ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ПРИ Г = 0 1гл. II
свертке
и выражаются суммой вида
W ? (•••)•
Р1Р2
В пределе V -> оо суммирование по Pj и р2 заменяются интегрированием по
V'2d3pId3p2/(2n)6, объем V сокращается и это выражение остается конечным.
В сумме (13,15) отличны от нуля также и члены с рх = р2 = р3 = р4; эти
члены образуют сумму вида
-^-^<арарар ар>ехр(...); р
но после перехода в ней к интегрированию один множитель 1/V остается, и в
пределе V-> оо выражение обращается в нуль.
Ясно, что этот результат имеет общий характер: в пределе V -s- оо в
среднем значении от произведения tjj-операторов не обращаются в нуль лишь
результаты попарных сверток.
Отметим, что в изложенном доказательстве по существу не использовалось,
что усреднение производится именно по основному состоянию, и поэтому оно
остается справедливым и при усреднении по любому квантовому состоянию
системы1).
§ 14. Собственно-энергетическая функция
Сформулированные в предыдущем параграфе правила диаграммной техники
обладают важным свойством: общий коэффициент в диаграмме не зависит от ее
порядка. В силу этого свойства каждая "фигура" на диаграмме имеет
определенный аналитический смысл независимо от того, в какую диаграмму
она входит, так что ее можно вычислять независимо, заранее.
*) Но если усреднение производится по основному состоянию, то теорема
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 172 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed