Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
замкнуть бесконечно удаленной полуокружностью (все равно-сверху или
снизу), и тогда интеграл определится вычетом подынтегрального выражения в
соответствующем полюсе. При этом ввиду узости интервала (17,9) (при малом
k) в множителях Г и Г под знаком интеграла можно будет положить & = 0 и
соответственно для положения полюсов (при малых k, со): q0 та 0.
Другими словами, в смысле своей роли в ядре интегрального уравнения
(17,5) произведение полюсных множителей (17,7) эквивалентно 6-функциям
A8(q0)8(q-рР)
с коэффициентом А, определенным как интеграл
я = Г____________________dclo ____________________
J [<?о- vp (q - Pf) + ibi] [<?o + " - Ml q + k| -Pf) + (S2] '
Когда q лежит вне интервала (17,9), оба полюса лежат в одной
полуплоскости комплексного q0, и, замкнув путь интегрирования по dq0
через другую Полуплоскость, убедимся, что интеграл обращается в нуль. В
области же (17,9), замкнув путь через одну из полуплоскостей и вычисляя
интеграл по вычету в расположенном в этой полуплоскости полюсе, найдем
. _ ?________2niZ2dq______
J CO -Kf(| q + k | -(7) + Ю
(учтено, что в области (17,9) <0, 62 > 0). Поскольку в силу
(17,9) q та pF^>k, то можно положить |q+k|-qwk cosG, после чего (с
учетом пределов (17,9))
д 2пiZ2 k cos в to-kvF cos 9'
Легко показать тем же способом, что такое же выражение для А (но с другим
знаком у г'0) получается и при cos 0<О (когда интегрирование должно
производиться по области q > pF, |q + k|</7f). Таким образом, в ядре
уравнения (17,5) имеем
G(Q)0(Q+K)= +ф№). (17.Ю)
88 ГРИНОВСКИИ ФУНКЦИИ ферми-системы при Т = 0 [гл. II
где написано Ik вместо fe cos 0(1 = q/<7), а функция q> не содержит (при
малых К) б-функционной части, и потому в ней можно положить К = 0.
Подставив (17,10) в (17,5), получим основное интегральное уравнение в
виде
Губ, ар (^С, Рf, Ръ) = Гув, ар (РЪ ^2)
Q)?(Q)rxa,ce№ 4.?,)$$+
+ $F ^)г-в.гэ(/С; QF, Р*)-^- (17,11)
В последнем члене подставлено diQ = q'idqdoldq'S (где dot-элемент
телесного угла в направлении 1) и интегрированием по dqdqQ устранены б-
функции. В этом члене в функциях Г и Г аргумент Q берется на ферми-
поверхности: QF=(0, рР 1).
Обратим внимание на специфический характер множителя 1к/(м-vF\k) в ядре
уравнения (17,11): его предел при к->-0, ю-*0 зависит от предела, к
которому стремится при этом отношение ю/й. Таким же характером будет
обладать, следовательно, и решение уравнения: предел функции Г(Д"; Ри Р2)
при К-*-0 зависит от способа стремления к нулю со и к.
Обозначим посредством Гю (Pit Р2) предел
г?в, ар (Л. Р2)= ит rv6>C[p(/C; Pi, Pi) при fe/co -0 (17,12)
К->0
(мы увидим в § 18, что именно с этой величиной связана функция
взаимодействия квазичастиц). При таком способе перехода к пределу ядро
последнего интегрального члена в (17,11) обращается в нуль, так что Гю
удовлетворяет уравнению
Г"б, ар {Pi, Р2) =
= Г76, ар (Plt Pt)-i§ fvC. (Plt Q) ф (Q) Г&, (Q, P2)^|. (17,13)
Отметим, что ввиду (15,8)
Губ, ag (Pit Р2) == Гбу, Ра (Р2, Р\)• (17,14)
Из двух уравнений (17,11) и (17,13) можно исключить Г. Результат
исключения:
Губ, ар (К', Pi, Р2) - Г"е, ар (Pi, Р2)~\~
+ 0 Qr)r*a.w(K; QP, (17,15)
Действительно, если формально записать (17,13) в виде Г = ?Г°, то (17,11)
запишется как
р 2?p2f Г f р 1к
§ 17] ВЕРШИННАЯ ФУНКЦИЯ ПРИ МАЛЫХ ПЕРЕДАЧАХ ИМПУЛЬСА 89
Подставив сюда Г=1ГШ и применив к обеим сторонам равенства оператор L-1,
получим (17,15).
Введем теперь функцию Г* согласно
rftv6>ap(Pi,P2)=limrv6,ap(/t; Ри Р2) при ю/ft -0. (17,16) к-"- о
Именно эта функция (умноженная на Z2) представляет собой амплитуду
рассеяния вперед (т. е. перехода Ри Р2 -±Рг, Р2), отвечающую реальным
физическим процессам, происходящим с квазичастицами на ферми-поверхности:
столкновения, оставляющие квазичастицы на этой поверхности,
сопровождаются изменением импульса без изменения энергии, и потому
переход к пределу нулевой передачи импульса (к->0) должен производиться
при строго равной нулю передаче энергии (со = 0). Введенная же выше
функция Гм отвечает нефизическому предельному случаю "рассеяния" с малой
передачей энергии при строго равной нулю передаче импульса (к = 0).
Положив в (17,15) (о = 0, перейдя к пределу к->-0 и умножив обе стороны
равенства на Z2, получим
22Г*б, aP (Pt, Pt) = аР (Pit Pt) -
-^-^1гТП,аЛРг, P>)d°l- (17,17)
Таким образом, существует общее соотношение, связывающее обе предельные
формы амплитуды рассеяния вперед.
Свойства антисимметрии (15,8) для Г дают некоторую информацию о поведении
Г* и Г" при Рг->Р2. Положив в этом равенстве Р1 - Рг и а = р, получим
Г\б,аа(Рг+К, Рг-К', Pi, Pt) = 0 (17,18)
(суммирования по а здесь нет!)1). Переход к Г" или Г* в этом равенстве
надо производить с осторожностью, так как в Ги, Г* сначала положено К =
0, а в (17,18) - сначала Pt = P2.
Пусть одновременно малы К и Pt-P2 = S = (s0, s). Тогда помимо диаграмм
(17,2) будут опасными также и диаграммы
ре
Р2-К ' Ц*К
1) При учете лишь обменного взаимодействия между спинами квазичастиц
