Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лифшиц Е.М. -> "Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния " -> 29

Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.

Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния — Москва, 2000. — 449 c.
Скачать (прямая ссылка): statisticheskayafizika2000.pdf
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 172 >> Следующая

1) Как и в случае одйочастичной функции Грина, множитель <S>-1 в
определении (15,2) приводит к исчезновению диаграмм, содержащих
отсоединенные замкнутые петли сплошных линий.
§ 15]
ДВУХЧАСТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ ГРИНА
79
фигур и дает точную вершинную функцию iT. В графическом представлении
двухчастичной функции Грина суммой скелетных диаграмм
жирные линии изображают точные G-функции, а кружок условно обозначает
вершинную функцию.
Вычисление вершинной функции в различных порядках теории возмущений
должно производиться по сформулированным в § 13 правилам диаграммной
техники, причем должны рассматриваться диаграммы с четырьмя внешними
концами (а не с двумя, как при вычислении G). Правило 3), определяющее
общий знак диаграммы, должно быть дополнено следующим указанием: если
непрерывными последовательностями сплошных линий связаны концы 1 с 4 и 2
с 3 (вместо 1 с 3 и 2 с 4), то знак диаграммы меняется на обратный.
Изобразим, для примера, все диаграммы, определяющие вершинную функцию во
втором порядке теории возмущений:
Собственно-энергетическая и вершинная функции (2 и Г) не независимы; они
связаны друг с другом определенным интегральным уравнением (так
называемым уравнением Дайсона)1).
J) Оно аналогично уравнению Дайсона в квантовой электродинамике (см. IV §
104).
(15,10)
80 ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ПРИ Т = 0 [гл.
II
Для его вывода воспользуемся уравнением (9,5), справедливым (как было
отмечено там же) и при учете взаимодействия частиц. Разница по сравнению
с выводом в § 9 состоит, однако, в том, что теперь -ф-оператор
удовлетворяет уравнению (7,8). Опустив в последнем член с внешним полем и
подставив из него производную dW/dtf в (9,5), получим
(* + G"P (*i-*.)-Mu> (Xi-xt) =
=,- ? S(wv+ (Xa) U (Xi-X3) % (X3) (X,) (X,)) =
= -i.S^va,vp№, Хг', X3,X2)Ui3d*X3. (15,12)
Это равенство решает, в принципе, поставленный вопрос, так как К.
выражается через Г согласно (15,7). Остается лишь перейти к импульсному
представлению. Для этого умножим равенство (15,12) на exp[iP(Xi-Х2)] и
проинтегрируем по di(Xi-Х2), представив /С31-,32 в виде (15,5), a U13 в
виде (13,9). Тогда интегрирование по 4-координатам дает 5-функции,
которые устраняются интегрированием по 4-импульсам. В результате получим
[G(0>~J (Р) G(P) - 1] 6ар =
= Р,+Р*-Р, P)U (Р-РУ-^^ (15,13)
с Gl0) (Р) из (9,7).
Теперь осталось выразить К через Г. Подставив (15,7) в
(15,13), получим окончательно уравнение Дайсона в виде
бар [G<°>-* (P)-G-1 (/>)] = 8аРБ (Р) =
= U(0)n (\i) 6ар + ?5ар j* U (Р -PJ G (Рг) -Ц- +
+ J TVa, vp (Р3j Р3 -hPt-P, Р) G (Л) G (Л) G (Р3 + Pt-Р) X
Xi/(P-P4)^fi. (15,14)
Здесь tt([x) - точная плотность системы как функция ее химического
.потенциала; этот множитель возникает от интегрирования G-функции по
формуле (7,24) (при этом учитывается, что данная G-функция возникла от
свертки, в которой Чг+ стоит слева от W). Отметим, что первый член в
правой стороне уравнения (15,14) есть 2Д (14.11).
§ 16]
АМПЛИТУДА РАССЕЯНИЯ КВАЗИЧАСТИЦ
81
§16. Связь вершинной функции с амплитудой рассеяния квазичастиц
Математический аппарат, развитый в предыдущих параграфах, дает
возможность строго обосновать и более глубоко понять смысл основных
соотношений теории ферми-жидкости Ландау, которые были введены в главе I
до некоторой степени интуитивным образом. Этому посвящены §§ 16 - 201).
Существует тесная связь между вершинной функцией и амплитудой взаимного
рассеяния квазичастиц. Для лучшего уяснения этой связи рассмотрим ее
сначала в рамках чисто квантовомеханической задачи о рассеянии двух
частиц в вакууме.
В квантовой механике "четыреххвостки"-диаграммы с четырьмя внешними
концами (двумя входящими и двумя выходящими)-отвечают процессу
столкновения двух частиц; при этом в аналитическом выражении диаграммы ее
внешним концам сопоставляются амплитуды волновых функций (плоских волн)
свободных частиц (ср. IV § 103). Проследим, каким образом такие диаграммы
различных порядков действительно дают последовательные члены обычного
нерелятивистского борновско-го разложения амплитуды рассеяния.
Прежде всего в случае вакуума большое число диаграмм вообще обращается в
нуль. Это проще всего понять в координатном представлении, заметив, что в
вакууме равны нулю все свертки вида <4f+4f>, в которых оператор
уничтожения стоит справа и действует на вакуумное состояние первым,
остаются только свертки вида <lFlF+>. Поэтому обращаются в нуль все
диаграммы с замкнутыми петлями сплошных линий - они всегда содержат
свертку вида <1F+'F>. По той же причине равны нулю все поправки к
гриновской функции, т. е. к внутренним сплошным линиям диаграмм2).
Наконец, равны нулю диаграммы с перекрещивающимися пунктирными линиями;
так, в диаграмме
7 2
*) Содержание §§ 16-18 принадлежит Л. Д. Ландау (1958), а содержание §§
19, 20-Л. Д. Ландау и Л. П. Питаевскому (1959).
2) Исчезновение всех поправок к гриновской функции в вакууме выражает
собой просто тот факт, что одной частице не с чем взаимодействовать.
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 172 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed