Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
92 ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ПРИ Г = 0 [гл. и
чаем, что определение звуковых возбуждений в ферми-жидкости сводится к
задаче о собственных значениях интегрального уравнения
х" <п)=¦Цф j r?t.""(n, 1) гл С) . (18.D
где %va(n) - вспомогательная функция.
Преобразуем это уравнение, введя вместо % новую функцию
vv" (п) =(в-yFnk (")• (18.2)
Тогда уравнение (18,1) примет вид
(со -yfnk)vva(n) = kn-^-|г"г,ои(п, n')vx?(n')do' (18,3)
(обозначение 1 заменено на п').
Это уравнение по форме в точности совпадает с кинетическим уравнением
(4,10) для колебаний ферми-жидкости. Сравнение обоих уравнений приводит к
следующему соответствию между функцией взаимодействия квазичастиц и
функцией Г(r):
/ve,ap(Pf-n, pfn') = Zar"e,ap (п, п')- (18,4)
Тем самым выясняется связь между функцией / и свойствами рассеяния
квазичастиц1).
Равенство (18,4) связывает / с амплитудой нефизического процесса
рассеяния. Воспользуемся теперь формулой (17,17) и получим с ее помощью
явное соотношение между / и "физической" амплитудой рассеяния вперед для
квазичастиц на ферми-поверхности, которую обозначим как
•^v(r). a0 (л*, П2) = Z2Ty$' (nj, п2). (18,5)
Соотношение (17,17) на ферми-поверхности принимает вид
^76, аЭ (Пц П2) =
-/v6,cep(ni> П2) 2n2Vp ^ аи ^П1' ?р(П > Пг) 4Я ' (18,6)
Спиновая зависимость функций Ли/ может быть выражена с помощью матриц
Паули о. В общем случае эти функции могут содержать любые скалярные
комбинации четырех векто-
*) Изложенный общий вывод принадлежит J1. Д. Ландау (1958). Для слабо
неидеального ферми-газа вывод кинетического уравнения путем суммирования
конкретных диаграмм типа (17,3) был ранее произведен А. Б. Миг-далом и В.
М. Галицким (1958). Заметим, что в случае газа в G-функциях (в нулевом
приближении) отсутствуют неполюсные члены, и потому вопрос об их
исключении не возникает.
§19] ТОЖДЕСТВА ДЛЯ ПРОИЗВОДНЫХ ОТ ФУНКЦИИ ГРИНА 93
ров tij, п2, ви а2. Но если взаимодействие между частицами является
обменным, то допустимыми скалярными произведениями являются лишь п1п2 и
ога2. Тогда функции Ли/ можно представить (как это было уже сделано для /
в (2,4)) в виде
jpjr fyS, ар (r"i, щ) = F (&) §av§pe + G (&) (Туа^бр,
(18,7)
Ауб, сеР (ni> пг) = В (Ф) Оуа^бр"
где коэффициенты F, G, В, С-функции только от угла ¦& между nt и щ. Эти
функции разлагаем по полиномам Лежандра
00
В(")= 2 (2Л-1)В,Р,(со8д), ... (18,8)
/=о
Подставив (18,7-8) в (18,6) и вычислив интеграл (используя
при этом теорему сложения для полиномов Лежандра), получим
B, = F,(1-Bt)f Cj = Gj(1-Ct). (18,9)
Этими формулами устанавливается простая алгебраическая связь между
коэффициентами разложений / и А.
Условия устойчивости (2,19-20) приводят к аналогичным неравенствам для
коэффициентов Blt Ct\
В,<1, Ct< 1. (18,10)
Кроме того, эти коэффициенты удовлетворяют соотношению, являющемуся
следствием формулы (17,19): 5(0)+С(0) = 0 или
2 (2/+1)(Бг + С,) = 0. (18,11)
1=0
Равенства (18,9) и (18,11) вместе с условиями (18,10) достаточны для
доказательства интересного утверждения: во всякой устойчивой ферми-
жидкости существует по крайней мере одна ветвь (обычная или спиновая)
аксиально-симметричного нулевого звука*).
§ 19. Тождества для производных от функции Грина
В математическом аппарате функций Грина существенную роль играют
некоторые тождественные соотношения между производными от этих
функций и амплитудой рассеяния квазичастиц. Вывод этих
соотношений однотипен: вычисляется изме-
1) См. N. D. Mermin, Phys. Rev. 159, 161 (1967).
94 ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ПРИ Т - 0 [гл. и
нение гриновской функции под влиянием некоторого фиктивного "внешнего
поля", результат воздействия которого на систему известен заранее.
Поэтому прежде всего вычислим изменение бG гриновской функции под
влиянием "внешнего поля" произвольного вида. Такому полю соответствует в
гамильтониане член
81= $$?(*, r)8U$u{t,T)d'x, (19,1)
где б0 - некоторый оператор, действующий на функции от г (и могущий
зависеть также от времени ^).
При наличии внешнего поля функция Грина зависит уже от двух 4-импульсов
Pt и Р2. В диаграммной технике такое поле изображается новым графическим
элементом-внешней пунктирной линией:
I
I
Р <-¦" !, , а
Г2 р7
причем такой линии сопоставляется множитель
- l8U(Pt, Pi) = -i\eip>xWe-{P'xd*X. (19,2)
В первом порядке по внешнему полю поправка к точной функции Грина
изображается суммой двух скелетных диаграмм
/V"
где все сплошные линии - жирные (точные G-функции), а кружок- точная
вершинная функция (iT). В аналитическом виде это равенство записывается
как
tfiGp. (Р2, PJ = GPv (Р2) бU (Р" Pi) Gva (Pi) -
- lGpv (P2) Gea (P1) 5 Губ, Eg (Pг, QР±, Q2) X
X 6U (Qt, Qt) G& (Qt) Gxe Ш -Ц; , (19,4)
причем Qz + Pi = P2 + Qi-
Первые два из интересующих нас тождеств связаны с сохранением числа
частиц в системе. В гамильтониане системы это свойство выражается тем,
что г|;-операторы входят в него парами: по одному 'F+ (X) и Ф (X) для
каждого аргумента X.
§ 19] ТОЖДЕСТВА ДЛЯ ПРОИЗВОДНЫХ ОТ ФУНКЦИИ ГРИНА 95
