Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
значения в вакууме, т. е. при pF = 0, ц = 0 и значениях o1 = pi/2m, a2 =
pl/2m, отвечающих энергиям двух реальных сталкивающихся частиц
("физические" внешние концы диаграмм). После этого можно уже будет
заменить - Re/ значением при нулевой энергии, т. е. длиной рассеяния а2).
Таким образом, будем иметь
Знак Р во втором члене означает, что интеграл берется в смысле главного
значения; это - результат отделения вещественной части интеграла с
помощью правила (8,11).
Поскольку выражение (21,13) симметрично по Рг и Р2, оба интеграла в
(21,10) совпадают, так что
J) Не смешивать / в этом параграфе с функцией взаимодействия квазичастиц!
2) Эта замена не могла быть произведена в (21,12), так как привела бы
к расходимости интеграла при больших р'. После произведенного же
вычитания интеграл сходится (при р' ~рр) уже и с такой заменой, что и
позволяет произвести ее. Вычитание лишь вещественной части интеграла (и
соответственно замена U через Re/) произведено с целью избежать
затруднения, связанного с мнимой частью амплитуды рассеяния. Дело в том,
что при малых импульсах Re/ разлагается по четным, a Im/-по нечетным
степеням импульса (см. III § 132). Поэтому учет импульсной зависимости /
привел бы к поправкам относительного порядка (qFa)2, т. е. пренебрежимым.
Замена же U ->• - 4nf/m потребовала бы учета мнимой части /, приводящей к
поправкам относительного порядка величины рра,
и (Рз -Pi) -*¦ -" Ref (Рз, Pi)
F^(P3, Р 4-. Ри Pt) =
(
4яа \ 2
~пГ )
)
1-е (р')~е (Р1+Р2-р')
1 2
й>1 + с"2 + 2ц--- [р' + (Р! + Р2 -р')2] +i0-sign (P'-Pf)
Pl + Pt - Р'2- (Р! + Р2-Р')2
[- ?2 (/>)]", г = j G<0) (Q) (P,Q-,P,Q)^.
§ 21] ПОЧТИ ИДЕАЛЬНЫЙ ФЕРМИ-ГАЗ 105
При подстановке сюда первого члена из (21,13) интеграл по dq0 отличен от
нуля,1" если
sign (р' - рр) = - sign (q-pp), (21,14)
так что оба полюса подынтегрального выражения снова находятся в разных
полуплоскостях q0. При подстановке же второго члена из (21,13) от q0
будет зависеть только множитель G0(Q), интегрирование по dq0
осуществляется формулой (7,23) и дает Nl0) (q)-функцию распределения
частиц в идеальном газе, т. е. ступенчатую функцию 0(q). В результате
получим (собрав вклады от всех диаграмм (21,1 а-г))
2(<о,р) = -^л(ц)а + 2<*>(<о, р), (21,15)
где
S(2) (w, р) =
4па Y С ( [1-6(р') -6(р + д-р')] [9(g) -8 (р')]
т |"+^+:Б р'2~ (р+ч-p')2] + '0-sign(p'-рр)
р__________2тв (q)_____"j <Pqdsp /т in
V+9*-p'*+(p+q-p')2j (2л)0 ( }
(множитель 0(q) - 0(р') в числителе первого члена под знаком интеграла
заменяет собой - sign, (^ - pF) при условии (21,14)).
Заметим прежде всего, что 2 имеет мнимую часть. Она выделяется из (21,16)
с помощью правила (8,11) и дается выражением
1ш2(со, р) = - (-^)2 я J{0 (q) [1 -0 (р')] [1 -0 (р + q-p')]-
_[l_0(q)]0(p')0(p + q-p')}X хб[со+И+1.(?2-р'2-(р + Ч-р')2)]^|^
(21,17)
(выражение в фигурных скобках преобразовано с учетом того, что 02(р) =
0(р)).
Спектр энергий квазичастиц вычисляется, согласно (14,13), как
'lrt = S+l"W" + 2'"(i-p, р) (21.18)
(в 2(а) можно, с требуемой точностью, положить е"р2/2т). Комплексность 2
означает наличие затухания у возбуждений (Im 0).
Появление этого затухания выражает неустойчивость квази-частиц, связанную
с возможностью реального процесса их распада.'Квазичастица может отдать
часть своей энергии, за счет
106
ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ПРИ Т = 0 [гл. II
которой рождается пара квазичастиц (частица и дырка). Рассмотрим,
например, первый член в фигурных скобках под интегралом в (21,17). По
свойствам ступенчатой функции этот член отличен от нуля, если
P'>Pf, |Ч + Р-P'l>/V> Q< Pp-
Эта неравенства отвечают процессу, в котором квазичастица с начальным
импульсом р (р > pF) переходит в состояние р' (р > р' > pF), причем
импульс р-р' передается частице внутри ферми-сферы (импульс q < pF),
возбуждаемой до состояния с импульсом q-fp-р' вне ферми-сферы; такой
переход эквивалентен появлению двух новых элементарных возбуждений - с
импульсами -q (дырка) и q + p-р'. Закон сохранения энергии в этом
процессе выражается 6-функцией в (21,17), в которой со + fx играет роль
начальной энергии квазичастицы е(р):
е (р) == е (р') + [е (q 4-р-р')-е (q)]
(здесь достаточно положить, в первом приближении, е(р)=ра/2т). В
соответствии с указанным смыслом, определенная этим равенством энергия е
(р) действительно отвечает квазичастице вне ферми-сферы (е > [х).
Аналогичным образом, второй член в фигурных скобках в (21,17) возникает
от процессов, в которых пара рождается дыркой. Этот член дает затухание
элементарных возбуждений с е < (х. На языке диаграммной техники
возможность рождения пары квазичастицей выражается возможностью рассечь
диаграмму G-функции на две части путем пересечения ее по трем сплошным
линиям, из которых две направлены в одну, а третья- в другую сторону. На
диаграммах (21,1 в - г) таковы сечения, проходящие между двумя
пунктирами.
Случай слабо неидеального газа специфичен (по сравнению с общим случаем
произвольной ферми-жидкости) в том отношении, что спектр квазичастиц в
