Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
нем имеет смысл во всей области значений импульсов, а не только вблизи
ферми-поверхности: затухание квазичастиц (Ime) оказывается относительно
малым уже благодаря малости "параметра газовости" арР. Мы приведем здесь,
однако, окончательный результат вычислений лишь для двух предельных
случаев.
Вблизи ферми-поверхности (|р-Рр\<^Рр) получается
Re е = (х + (р-pF) pp/m•
с (х из (6,14) и т* из (6,17). Для затухания же квазичастиц получается
Ime = -i(/Va)2(p-Pf)2 si§n (Р-Pf)- (21,19)
§ 21]
ПОЧТИ ИДЕАЛЬНЫЙ ФЕРМИ-ГАЗ
107
Пропорциональность этого выражения квадрату (р-pF)3 имеет ясное
происхождение: один множитель р-рР возникает как ширина той области
импульсного пространства (узкий шаровой слой), в которую попадает импульс
квазичастицы после рождения ею пары, а еще один такой множитель-как
ширина слоя, в котором рождается пара. Отметим, кстати, что эти
соображения относятся и к любой фгрми-жидкости, так что вблизи ферми-
поверхности всегда 1тес\э(р -pf)21).
При больших импульсах p^>pF (но все же ра<^1) имеем
В обоих случаях отношение Ime/Ree мало. Максимальное значение этого
отношения достигается при p~pF, но и здесь оно ~ (рра)2<^ 1.
Наконец, приведем значение перенормировочной постоянной функции Грина
слабо неидеального газа. Она вычисляется как
52 (ш, р)
5ш и=о, Р-Рр
и равна
(21,21)
*) При отличных от нуля температурах усреднение этой величины по
тепловому распределению приводит к пропорциональности затухания квадрату
Та, о чем уже говорилось в § 1.
ГЛАВА III СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ
§ 22. Элементарные возбуждения в квантовой бозе-жидкости
Обратимся теперь к изучению квантовых жидкостей с энергетическим спектром
совершенно иного типа, который можно назвать бозевским1).
Этот спектр характеризуется тем, что элементарные возбуждения
(отсутствующие в основном состоянии жидкости) могут появляться и исчезать
поодиночке. Но момент импульса всякой квантовомеханической системы (в
данном случае - жидкости) может испытывать изменения лишь на целое число.
Поэтому возникающие поодиночке элементарные возбуждения должны обладать
целочисленным моментом и, следовательно, подчиняться статистике Бозе.
Спектром такого типа должна во всяком случае обладать всякая квантовая
жидкость, состоящая из частиц с целым спином (таков жидкий изотоп Не4)_.
Напомним для сравнения, что в ферми-жидкости, при описании ее в терминах
спектра элементарных возбуждений, отсутствующих в основном состоянии (см.
конец § 1), эти возбуждения могут появляться или исчезать лишь парами.
Именно с этим связана возможность элементарным возбуждениям в этом типе
спектра иметь полуцелый спин.
В квантовой боэе-жидкости элементарные возбуждения с малыми импульсами р
(длина волны велика по сравнению с межатомными расстояниями)
соответствуют обычным гидродинамическим звуковым волнам, т. е.
представляют собой фононы. Это значит, что энергия таких квазичастиц
является линейной функцией их импульса:
е = "р, (22,1)
где и-скорость звука в жидкости. Последняя дается обычной формулой и2 =
dPjdp, причем нет необходимости уточнять,
J) Теория таких квантовых жидкостей была создана Л. Д. Jlandaj в 1940-41
г., вслед за открытием П. Л: Капицей сверхтекучести жидкого гелия. Этими
открытиями было положено начало всему развитию современ^ ной физики
квантовых жидкостей.
§ 22] ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ В КВАНТОВОЙ БОЗЕ-ЖИДКОСТИ 109
берется ли производная при постоянной температуре Т или энтропии S,
поскольку при Т->-0 также и 5-1-01).
Число элементарных возбуждений в бозе-жидкости стремится к нулю при Т->-
0, и при низких температурах, когда их плотность достаточно мала,
квазичастицы можно считать не взаимодействующими друг с другом, т. е.
образующими идеальный бозе-газ. Поэтому статистически равновесное
распределение элементарных возбуждений в бозе-жидкости дается формулой
распределения Бозе (с равным нулю химическим потенциалом - ср. примечание
на стр. 18)
n(p) = [eMP)/r_1]-i. (22,2)
С помощью этого распределения, и зная зависимость е(р) при малых р, можно
вычислить термодинамические величины жидкости для таких близких к
абсолютному нулю температур, при которых практически все имеющиеся в
жидкости элементарные возбуждения обладают малыми энергиями, т. е.
являются фононами. Соответствующие формулы можно написать сразу,
воспользовавшись выражениями для термодинамических величин твердого тела
при низких температурах (см. V § 64). Разница
заключается лишь в том, что вместо трех возможных направ-
лений поляризации звуковых волн в твердом теле (одно продольное и два
поперечных) в жидкости существует лишь одно (продольное); поэтому все
выражения для термодинамических величин следует разделить на 3. Так, для
свободной энергии жидкости имеем
F-F--yiifS' <22'3>
где F0 - свободная энергия при абсолютном нуле. Энергия жидкости равна
E = E° + V?$k' <22'4>
а теплоемкость
2 л2Г3
<22'5>
она пропорциональна кубу температуры.
Фононный закон дисперсии (22,1) справедлив лишь постольку, поскольку
