Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
Наличие постороннего атома в жидкости приводит к появлению новой ветви
энергетического спектра, соответствующей движению этого атома через
жидкость; разумеется, ввиду сильного взаимодействия атома примеси с
атомами жидкости, это движение является в действительности коллективным
эффектом, в котором принимают участие также и атомы жидкости. Этому
движению можно приписать некоторый результирующий сохраняющийся импульс
р. Таким образом, в жидкости появляются квазичастицы нового типа (в
числе, равном числу атомов примеси), энергия которых епр (р) является
определенной функцией импульса. В тепловом равновесии энергии этих
квазичастиц будут сосредоточены вблизи наименьшего из минимумов функции
епр(р). Фактически речь идет о примеси изотопа Не3, и эмпирические данные
показывают, что такой минимум лежит при р = 0; вблизи него энергия
квазичастицы имеет вид
с эффективной массой тпР = 2,8 масс атома Не3.
Примесные квазичастицы взаимодействуют с фононами и ротонами, сталкиваясь
с ними, и, таким образом, входят в состав нормальной части жидкости.
Ввиду малой концентрации этих квазичастиц их тепловое распределение -
больцмановское, и их
(23,9)
х) Жидкий гелий при температурах ниже этой точки называют гелием 11. Я-
точки образуют линию на фазовой диаграмме в- плоскости Р, Т. Эта линия
пересекает линию равновесия жидкости с паром при температуре 2,19 К.
118 СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ [ГЛ. III
вклад в р" (определенный согласно (23,6)) дается формулой
(Рп)пр=^-р#=^^пр, (23,10)
где Nnp/V-число атомов примеси в единице объема.
Задачи
1. Найти предельный закон температурной зависимости коэффициента
поверхностного натяжения а жидкого гелия вблизи абсолютного нуля (К. R.
Atkins, 1953). 1
Решение. Коэффициент а есть свободная энергия единицы площади поверхности
жидкости (см. V (154-,6)). Эга величина вычисляется по формуле V (64,1),
в которой частоты ша относятся теперь к поверхностным колебаниям. В
двумерном случае переход от суммирования к интегрированию (по волновым
векторам колебаний) осуществляется введением множителя d2?/(2jt)2 или 2nk
dk/(2n)2. После интегрирования по частям найдем
, , /, -h<i>/T\kdk % f kzda
(a0 - поверхностное натяжение при T = 0). При достаточно низких
температурах существенны лишь колебания с малыми частотами, т. е. с
большими длинами волн. Такие колебания представляют собой
гидродинамические капиллярные волны, для которых co2 = a?3/p w a0k3/p (р
- плотность жидкости). Поэтому
_А(_р_у/зГ-
4л \ ао / J
э4/3Ло
" 4л V "о J J eha/T
о
(быстрая сходимость интеграла позволяет заменить верхний предел
бесконечностью). Вычисление интеграла (см. примечание в V § 58) приводит
к результату
7'7/3р2/3 п Г7/3р2/3
" "° *4л^3"20/3 \з)Чз) "° ' ?*/3а2/3 '
Этот результат относится к жидкому Не4 при температурах настолько низких,
что всю массу жидкости можно считать сверхтекучей 1).
2. Найти закон дисперсии епр*(р) для примесных частиц в движущейся
сверхтекучей жидкости, если известен этот закон 8пр (р) в неподвижной
жидкости (J. Bardeen, G. Baym, D. Pines, IS67).
Решение. После добавления к неподвижной жидкости (при Т = 0) атома
примеси (с массой m) с импульсом р0 ее энергия и импульс (в системе
координат, в которой жидкость первоначально покоилась) есть ?0 = effi>
(Рв), Ро = Ро- В системе же координат, в которой жидкость движется со
скоростью v, имеем, согласно (23,1),
Е = eLp (Ро) + P0v + y (М+ m) vа, Р = р0 + (М + т)
*) В ферми-жидкости (жидкий Не3) капиллярные волны рассмотренного типа
(как и объемные волны обычного звука) не существуют ввиду неограниченного
возрастания вязкости при Т -*- 0.
§ 24]
фононы в жидкости
119
Отсюда видно, что изменения энергии и импульса движущейся жидкости при
добавлении к ней атома примеси равны
<о) , * , , mv2
епр = епр (Ро) + Pov Н-2- " P = Po + mv.
Выразив епр через р, находим
/ ч (0), ч , mv2
епр (Р) = епр (Р-mv) + pv--.
При малых значениях v, с точностью до членов первого порядка, для спектра
8пр (р) вида (23,9) имеем
епр (Р) =гА- + уР (1-%~) ¦
2мпр \ Мпр/
§ 24. Фононы в жидкости
При переходе от классической картины звуковых волн к квантовому
представлению о фононах гидродинамические величины (плотность, скорость
жидкости и т. п.) заменяются операторами, выражающимися через операторы
ск, уничтожения и рождения фононов. Выведем формулы, дающие эти
выражения.
Напомним, что в классическом описании звуковой волны плотность жидкости
испытывает малые колебания с частотами и волновыми векторами, связанными
друг с.другом соотношением сo = uk. Величиной того же порядка
малости, что и переменная часть плотности р' = р - р0 (р0 -
равновесное значение
плотности), является скорость жидкости V. Движение жидкости в волне
потенциально, т. е. может быть описано скалярным потенциалом скорости ср,
определяющим скорость согласно
v = Vcp. (24,1)
Скорость и плотность связаны друг с другом уравнением непрерывности
dp'/dt = - div (pv) " - p0divv, или
^ = -р0Дср. (24,2)
Энергия жидкости в звуковой волне дается интегралом
