Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
дт tn2U^ УПГ 1 Q\
р 2е (р) {е (р)-\-р*/2т-\-ти2} ' ' *
(при Т - 0 средние значения Np совпадают с точными значениями; поэтому
черту над буквой опускаем). Неидеальность бозе-газа приводит,
естественно, к появлению частиц с отличным от нуля импульсом и при
абсолютном нуле; интегрирование в (25,17) с Np из (25,18) производится
элементарно и дает
Nn = N
.±тР
з У
1 п 17 nV
(25,19)
Наконец, сделаем еще следующее замечание по поводу полученного здесь
спектра. При малых р производная d2e/dp2 > О, т. е. кривая е(р)
загибается вверх от начальной касательной е = ир. В таком случае (см.
ниже § 34) возникает неустойчивость спектра, связанная с возможностью
самопроизвольного распада квазичастиц (фононов). Соответствующая ширина
уровней, однако, мала (пропорциональна ръ- при малых р) и не затрагивает
выражений, получающихся в рассмотренных приближениях.
§ 26. Волновая функция конденсата
Как уже упоминалось в § 23, появление или исчезновение сверхтекучести в
жидком гелии происходит путем фазового перехода второго рода. Такой
переход всегда связан с каким-либо качественным изменением свойств тела.
В случае Я-точки жидкого гелия это изменение может быть описано
макроскопи-
1) Отметим, что максимум числа частиц с заданной величиной импульса (-
p2Nр) лежит при р!% - yaN/V, где происходит переход от одного предель-
ного выражения е (р) к другому. Это обстоятельство было уже упомянуто в
примечании иа стр. 123.
§ 26 J
ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ КОНД1ТНСАТА
12У
ческим образом, как появление или исчезновение сверхтекучей компоненты
жидкости. С более глубокой, микроскопической точки зрения речь идет об
определенных свойствах распределения частиц (истинных!) жидкости по
импульсам. Именно в сверхтекучей жидкости, в отличие от несверхтекучей,
конечная доля частиц (т. е. макроскопически большое их число) имеет
строго равный нулю импульс; эти частицы образуют бозе-эйнштейнов-ский
конденсат (или просто ' конденсат) в импульсном пространстве. Напомним,
что в идеальном бозе-газе при Т = 0 все его частицы переходят в конденсат
(см. V § 62), а в почти идеальном газе - почти все частицы. В общем же
случае бозе-жидкости с сильным взаимодействием между частицами доля числа
частиц, находящихся при Т ~ 0 в конденсате, отнюдь не близка к единице.
Покажем, каким образом свойстве бозе-эйнштейновской конденсации
формулируется в терминах ^-операторов.
Для идеального бозе-газа - системы невзаимодействующих бозонов -
гейзенберговский ^-оператор записывается в явном виде как1)
Как было объяснено в § 25, можно прецефречь некоммутатив-ностью
операторов а0 и aj, т. е. рассматривать их как классические величины.
Другими словами, обычным числом оказывается часть ^-оператора (26,1),
которую обозначим через 3:
Для формулировки этого свойства тр-операторов в общем случае произвольной
бозе-жидкости заметим, что - поскольку в конденсате все равно находится
макроскопически большое число частиц, то изменение этого числа на 1 по
существу не меняет состояния системы; можно сказать, что в результате
добавления (или отнятия) одной частицы в конденсат из некоторого
состояния системы N частиц получается "то же самое" состояние системы N ±
1 частиц2). В частности, основное состояние остается основным. Обозначив
посредством 3, 3+ ту часть
1) Ср. (9,3). Мы предполагаем частицы газа бесспиновыми, поэтому
спиновый индекс отсутствует. В (26,1) учтено также, что для идеального
бозе-газа при Т = 0 химический потенциал ц = 0, и поэтому член -в
показателях опущен.
2) Добавление или удаление частицы надо представлять себе как
совершаемое бесконечно медленно. Этим исключается возбуждение системы
переменным полем.
г) = -^?йрехр | р
/}. (26,1)
136
СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ
[ГЛ. III
ip-операторов, .которая меняет на 1 число частиц в конденсате, имеем,
таким образом, по определению,
где символы |т, N> и \т, N1> обозначают два "одинаковых" состояния,
отличающихся только числом частиц в системе, a S - некоторое комплексное
число. Эти утверждения справедливы строго в пределе N->-оо. Поэтому
определение величины S следует записать в виде
переход к пределу совершается при заданном конечном значе нии плотности
жидкости N/V.
Если представить гр-операторы в виде
то остальная ("надконденсатная") их часть переводит состояние | т, Ny в
ортогональные ему состояния, т. е. матричные элементы х)
lim<m, \т, ЛГ+1> = 0, lira<т, N + 1 |V'+ [т, N> = 0.
N-х" N-+CC (26,5)
В пределе N->-оо разница между состояниями | т, N> и \т, jV-fl> исчезает
вовсе, и в этом смысле величина S становится средним значением оператора
Ф по этому состоянию. Подчеркнем, что характерным для системы с
конденсатом является именно конечность этого предела.
Равенствами (26,3) исчерпываются "операторные" свойства
Е, Е + , и их можно считать коммутативными с Ф', Ф, + . В частности,
операторы S, Н+ будут заменяться на Н, Е* (т. е. вести себя как
классические величины) при любых усреднениях по основному состоянию.
Подчеркнем снова, что такое приближение связано (ввиду макроскопичности
