Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
apatp + 2apap),
рфО
и после подстановки в (25,2) получаем следующее выражение для
гамильтониана:
H = W U° ~ae + W U" 2 (aPa-p + a;atp +
2a;ap). (25,5)
P РфО
Первый член этого выражения определяет, в первом приближении, энергию Е0
основного состояния газа, а его производная по N-соответственно
химический потенциал [г при Т=0:
E0 = ^U0, ц = -?с/0. (25,6)
Остальные же члены в (25,5) определяют поправку к Е0 и спектр слабо
возбужденных состояний газа.
Входящий в (25,5) интеграл U0 должен еще быть выражен через реальную
физическую величину-длину рассеяния а. В членах второго порядка это может
быть сделано прямо по формуле (6,2): t/0 = 4n&2a/m. В первом же члене
нужна более точная формула (6,5), учитывающая второе борновское
приближение в амплитуде рассеяния. При этом речь идет о столкновении двух
частиц конденсата, соответственно чему в сумме в (6,5) надо положить р1 =
р2 = 0, р* =- рг = р, так что будет
Ап%га 1 \
~Т~ 2-1? '
РФ о /
Подставив это^в (25,5), получим для гамильтониана
?т 2nfoa iV2 , , 4п&а IN,
~~m V{ 1 +- 2u +
\ рфО J
+ (ара-р + а;а1р + 2а;ар)+^Ё1а;ар. (25,7)
p ф о P
Для определения уровней энергии надо привести гамильтониан к
диагональному виду, Что осуществляется надлежащим линейным
преобразованием операторов ар, ар. Введем новые операторы Ър, Ър ,
согласно определению,
ар = upbp + vpbtv, ар = Ырёр +урЬ_р,
иа
4 шь2а
126 СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ [ГЛ. Ill
причем потребуем, чтобы они удовлетворяли таким же соотношениям
коммутации
Ь pb р' bp'bp - 0, bpbpf bp'bp = 8рр',
каким удовлетворяют операторы ар, ар. Легко видеть, что для этого должны
быть "р - Ур = 1. Учтем это, написав линейное преобразование в виде
Ье+,-Lll\ а(25,8)
/i-ц /'-"
р
Величину Lp надо определить таким образом, чтобы в гамильтониане выпали
недиагональные члены (6Р6_Р, bpbtp). Простое вычисление дает
= тй2 {е № ~~trh~~mu2} ' (25,9)
где введены обозначения;
e(p) = [U^ + (g)2]1/a, • (25,10)
" = * (25'И) При этом гамильтониан принимает вид
# = 2 е(р)ь;ьр, (25,12)
р^=0
где
= + (25,13)
Р=*=0
. Вид гамильтониана (25,12) и бозевские соотношения коммутации для
операторов Ър, Ър позволяют заключить, что Ьр и Ьр представляют собой
операторы рождения и уничтожения квазичастиц с энергией г(р),
подчиняющихся статистике Бозе. Собственные значения диагонального
оператора Ьр Ьр представляют собой числа пр квазичастиц с импульсом р, а
формула (25,10) определяет зависимость их энергии от импульса (числа
заполнения квазичастиц снова обозначены посредством пр , в отличие от
чисел заполнения истинных частиц газа). Тем самым полностью определен
энергетический спектр слабо возбужденных состояний рассматриваемого газа.
Величина же ?0 есть энергия основного состояния газа. Заменив
суммирование по дискретным значениям р (в объеме V)
§ 25]
ВЫРОЖДЕННЫЙ ПОЧТИ ИДЕАЛЬНЫЙ БОЗЕ-ГАЗ
127
интегрированием по Vd3pl(2nfi)3 и произведя вычисления, получим следующее
выражение:
(Т. D. Lee, С. N. Yang, 1957). Для химического потенциала газа (при Т -
0) соответственно имеем
Эти формулы представляют собой два первых члена разложений по степеням
(a3N/Vy/2. Но уже следующий член не мог бы быть вычислен изложенным
способом. Он должен содержать объем как V~2, а величина этого порядка
зависит уже не только от двойных, но и от тройных столкновений.
При больших значениях импульса (р^>ти) энергия квазичастиц (25,10)
стремится к рг/2т, т. е. к кинетической энергии отдельной частицы газа.
При малых же импульсах (р<^ти) имеем ел: up. Легко видеть,'что
коэффициент и совпадает со скоростью звука в газе, так что это выражение
отвечает фононам в соответствии с общими утверждениями § 22. При Т = 0
свободная энергия совпадает с энергией Е0, и взяв главный член в
разложении последней, находим давление
Скорость же звука получается как и = У дР/др (где р = mN/V- плотность
газа) и совпадает с (25,11).
Отметим, что в рассматриваемой модели бозе-газа длина рассеяния а
непременно должна быть положительной величиной (отталкивательное
взаимодействие между частицами). Это видно формально уже из того, что в
полученных формулах для энергии при а < 0 появились бы мнимые члены.
Термодинамический же смысл условия а > 0 заключается в том, что оно
необходимо для соблюдения в данной модели бозе-газа неравенства (дР/дV)T
< 0.
Статистическое распределение элементарных возбуждений (средние значения
пр их чисел заполнения) при отличной от нуля температуре дается просто
формулой распределения Бозе
(22,2). Распределение же Np истинных частиц газа по импульсам можно
вычислить усреднением оператора а+рар. Использовав (25,8) и учитывая, что
произведения ?>_р&р и Ър Ыр не имеют
(25,14)
(25,15)
дЕ 2 nh2aN*
dV ~~ тУ2 •
128
СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ
[ГЛ. III
диагональных матричных элементов, получим
р Д-. (25,16)
1 lp
Это выражение справедливо, разумеется, лишь при р=^0. Число же частиц с
нулевым импульсом
<25'17>
В частности, при абсолютном нуле все пр = 0, и с помощью (25,9) получим
из (25,16) функцию распределения в виде1)
