Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
числа частиц в конденсате) с пренебрежением лишь величинами
относительного порядка малости 1 /N*).
х) Во избежание недоразумений напомним лишний раз, что эти равенства
относятся лишь к переходам между "одинаковыми" состояниями!
2) С этой точностью, в частности, следует считать совпадающими матрич-
Н\т, N + 1> = S\т, N>, 3+ \т, N> = В*[т, N + 1>,
lim <m, iV | Е | m, Л/' -|-1 > = H,
lim <m, Л/^-f-l |iE+ |m, A/"> = E*;
(26,3)
(26,4)
ные элементы операторов T' для переходов между различными состояниями,
отличающимися на одинаковое (малое) число частиц в системе.
§ 26]
ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ КОНДЕНСАТА
131
Если временная зависимость волновых функций определяется по гамильтониану
Н' = Н - \iN, то величина Е не зависит от времени. Действительно,
матричный элемент <т, N\E\m, Л^ + 1> пропорционален
ехр ^[?(ЛГ + 1)-?(Л0-(ЛЧ-1)ц + ЛГ|1]| •
Но показатель этой экспоненты обращается в нуль, поскольку (с точностью
до величины ~]/N) Е (N + 1)-E(N) = \jl.
В однородной неподвижной жидкости S не зависит также и от координат и
(при надлежащем выборе фазы этой комплексной величины) равно просто
s =VW, (26,6)
где п0 - число конденсатных частиц в единице объема жидкости.
Действительно, 3+Е есть оператор плотности числа частиц в конденсате, а
среднее значение этого оператора есть как раз п0.
Существование конденсата приводит к качественному отличию в свойствах
матрицы плотности частиц бозе-жидкости по сравнению с матрицей плотности
в обычной жидкости. В произвольном состоянии однородной бозе-жидкости
матрица плотности определяется выражением
Np (rlt г,) = <т, N IФ+ (/, r2) W (t, rx) I т, N>, (26,7)
причем эта функция зависит лишь от разности r = rj-г2 (ср. (7,13)).
Подставив сюда г|>операторы в виде (26,4) и учитывая свойства (26,3) и
(26,5), получим
Np(r1,r2) = n0 + Np' (rx, r2). (26,8)
"Надконденсатная" матрица плотности р' стремится к нулю при |гх-г21->-оо;
матрица же плотности р стремится при этом к конечному пределу n0/N. Этим
выражается существование в сверхтекучей жидкости "дальнего порядка",
отсутствующего в обычных жидкостях, где всегда р->-0 при |гх-г2|-^-оо.
Это есть то свойство симметрии, которое отличает сверхтекучую фазу
жидкости от несверхтекучей (В. Л. Гинзбург, Л. Д. Ландау, 1950).
Фурье-компонента матрицы плотности определяет распределение частиц
жидкости по импульсам согласно формуле
N(p) = N\p (г) d3x (26,9)
(ср. (7,20)). Подставив сюда р в виде (26,8), получим
N (р) = (2л)3 л"б (р) + N j р' (г) e~ipT dsx. (26,10)
132
СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ
[ГЛ. Ill
Член с S-функцией соответствует конечной вероятности частице иметь строго
равный нулю импульс.
Если в жидкости происходит сверхтекучее движение, или если она находится
в неоднородных и нестационарных внешних условиях (существенно меняющихся,
однако, лишь на расстояниях, больших по сравнению с межатомными), то
бозе-эйнштейновская конденсация по-прежнему имеет место, но уже нельзя
утверждать, что она будет происходить в состояние ср = 0. Величина 3, по-
прежнему определяемая согласно (26,3), будет теперь функцией координат и
времени, имеющей. смысл волновой функции частицы в конденсатном
состоянии. Она нормирована условием )3|2 = п0 и потому может быть
представлена в виде
Благодаря тому, что в конденсатном состоянии находится макроскопически
большое число частиц, волновая функция этого состояния становится
классической макроскопической величиной *). Таким образом, в сверхтекучей
жидкости [появ-ляется новая характеристика макроскопических состояний, в
том числе термодинамически равновесных.
Плотность потока, вычисленная по волновой функции (26,11), есть
где т-масса частицы жидкости. По своему смыслу, это есть плотность
макроскопического потока конденсатных частиц, и ее можно представить в
виде n0vs, где -макроскопическая скорость этого движения. Из сравнения
обоих выражений находим, что
Поскольку это движение может иметь место в термодинамически равновесном
состоянии (характеризуемом величиной 3), то оно бесдиссипативно, так чго
(26,12) определяет скорость сверхтекучего движения. Мы снова приходим,
таким образом, к уже упомянутому в § 23 свойству сверхтекучего движения -
его потенциальности. При этом потенциал скорости <р оказывается
совпадающим (с точностью до постоянного множителя) с фазой
S (f, г) = Vn0(t, г) е'ф "•*>.
(26,11)
(26,12)
х) Аналогично тому, как становится классической величиной напряжен^ ность
поля электромагнитных волн при больших числах заполнения фотонов в каждом
состоянии (ср. IV § 5).
§ 27] ТЕМПЕРАТУРНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ПЛОТНОСТИ КОНДЕНСАТА 133
конденсатной волновой функции
Ф = 1ф. (26,13)
Во избежание недоразумений подчеркнем, однако, что, хотя скорость
конденсата и совпадает со скоростью сверхтекучей компоненты жидкости (и
хотя конденсат и сверхтекучая компонента одновременно появляются в Я-
точке), плотность конденсата тп0 и плотность сверхтекучей компоненты ps
отнюдь не совпадают друг с другом. Не говоря уже о том, что
отождествление этих двух величин никак не могло бы быть обосновано, его
